Projecteurs diagonalisable

[invite39ac77b7]

Bonjour,

Dans mon cour, je n'ai pas compris comment le professeur a trouvé le polynôme caractéristique des projecteurs et des symétries. J'ai dans mon cour:

" Tout projecteurs de E est diagonalisable ,
démonstration: si u est un endomorphisme de E avec u o u = u
u= p(Im u , ker u ) : E= Im u + ker u --->E
X= y + z |--->y
prévision: sp u ⊂ Rac _K (X²-X)={0;1} ... "

"Toute symétrie dans E est diagonalisable,
démonstration: si u est un endomorphisme de E avec u o u = id_E
u=sym( ker(u-id) + ker(u+id) ) ---->E
x= y + z |------> y-z
sp u ⊂ Rac _K (X²-1)={-1;1} ... "

pour les projecteurs je pense que, comme u o u = u , u o u=u²=u => X²=X d'où X²-X
pour les symétries je pense que, comme u o u = id , u o u = u² = 1? je sais pas trop ... comment bien raisonner?


Quelle propriété permet de dire l'inclusion : "sp u ⊂ Rac K (X²-X)={0;1} ... "


Quelqu'un peut m'aider svp?
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[gg0]

Bonjour.

X²-X est un polynôme annulateur, donc multiple du polynôme minimal. les éléments de Sp(u) sont les racines du polynôme minimal.

Cordialement.

[invite39ac77b7]

pouvez vous me rappeler, la méthode générale pour trouver le polynôme caractéristique de u ?

[invite39ac77b7]

"u o u = u² = 1? "
l'identité en polynomial devient 1 ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

pouvez vous me rappeler, la méthode générale pour trouver le polynôme caractéristique de u ?

Je ne vais pas refaire ton cours. Apprends-le.

l'identité en polynomial devient 1 ?

Voir dans ton cours la notion de polynôme d'endomorphisme.

Bon apprentissage !