Projecteurs

[invite93845cf6]

Bonjour,

Je souhaiterais savoir comment démontrer qu'un endomorphisme p de E est un projecteur si .
Merci d'avance pour votre aide.
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[inviteaf1870ed]

QUelle est ta définition d'un projecteur ?

[invite93845cf6]

Le projecteur sur suivant est l'application qui à chaque vecteur u s'écrivant de manière unique , , associe .

[invite93845cf6]

Dans ce cas,

et donc on a:
.
Ca suffit ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Tu as besoin de démontrer les deux sens. Ici tu as montré
p projecteur sur E1 suivant E2 => p°p=p
Il te faut montrer l'autre sens.

[invite93845cf6]

Donc .

Est-ce que c'est bon là ?

[inviteaf1870ed]

Oui je suis d'accord, mais tu n'as fait que réécrire ta démonstration autrement.

Tu dois maintenant démontrer la réciproque : si une application u est telle que p°p=p, alors c'est un projecteur sur un espace E1, suivant E2.

[invite93845cf6]

Ah d'accord, j'avais pas bien compris.





ce qui correspond à la définition d'un projecteur.

[inviteaf1870ed]

NON !

Il te faut précisément dire ce qu'est E1 et E2, et vérifier qu'ils sont en somme directe. Sinon tu ne fais qu'écrire des tautologies.

Plus précisément quand tu introduis u1, comment sais tu que la décomposition de u en u1 et u2 existe ?

Pour commencer es tu en dimension finie ou infinie ?

[invite93845cf6]

NON !

Il te faut précisément dire ce qu'est E1 et E2, et vérifier qu'ils sont en somme directe. Sinon tu ne fais qu'écrire des tautologies.

Plus précisément quand tu introduis u1, comment sais tu que la décomposition de u en u1 et u2 existe ?

Pour commencer es tu en dimension finie ou infinie ?

On est en dimension finie.
A partir de , il faut que je montre que:

?

[invite57a1e779]

il faut que je montre que:

?

Oui. Mais pour pouvoir y arriver, il faut commencer par définir et .

[inviteaf1870ed]

Oui. Mais pour pouvoir y arriver, il faut commencer par définir et .

Je ne saurais mieux dire

[invite93845cf6]

Oui. Mais pour pouvoir y arriver, il faut commencer par définir et .

et sont deux sous-espaces vectoriels de .

Sachant que , on veut montrer que:

. On veut de plus montrer que:

?

[inviteaf1870ed]

Tu prends le problème par le mauvais bout : tu ne connais pas E1 et E2, tu as seulement la donnée de p tel que p°p=p.
Si tu prends E1 et E2 quelconques ça ne va pas marcher. Il faut donc les "exhiber" à partir de ce que tu connais, c'est à dire p.

[US60]

pense un peu à Imp et Kerp car tu connais p tel que pop=p
Aux intervenants ci-dessus veuillez pardonnez ma coupable audace de m'immiscer ici...

[inviteaf1870ed]

Dans ces cas là, US60, mets une balise "spoiler". Tu as vu que l'on essayait de ne pas donner trop d'indications

[invite93845cf6]

pense un peu à Imp et Kerp car tu connais p tel que pop=p
Aux intervenants ci-dessus veuillez pardonnez ma coupable audace de m'immiscer ici...

Ah oui c'est vrai: si est un endomorphisme tel que alors .

Or, est le projecteur sur suivant donc et

Donc finalement, .

[US60]

Le seul spoiler que je connaisse est celui qui se trouve sur une voiture...
Blague à part...C'est quoi un " spoiler " et ça fonctionne comment svp ?

[inviteaf1870ed]

Ah oui c'est vrai: si est un endomorphisme tel que alors .

.

Cela reste à démontrer !