Développement limité de l'exponentielle

[invite14cee04b]

Bonjour,
je me posais une question au sujet de l'exponentielle et surtout à porpos de son développement limité.
En effet, au détour de pages, j'ai bien ciompris que toutes les fonctions de type cosinus, exponentielle,... pouvaient être écrites sous la forme de développement limité.
J'ai trouvé pour l'exponentielle que :

Ma question était de savoir pourquoi peut-on passer de l'un à l'autre (développement limité) ?
Merci d'avance pour vos réactions,

Blender82
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[Seirios]

Bonjour,

D'abord une remarque, n'est pas un développement limité de l'exponentielle, mais un développement en série entière ; ces deux notions peuvent être liées, mais elles restent bien distinctes.

Ensuite, je ne suis pas sûr de comprendre ta question : tu cherches une démonstration de l'égalité ?

[Seirios]

Ensuite, je ne suis pas sûr de comprendre ta question : tu cherches une démonstration de l'égalité ?

Si c'est le cas, quelle définition de l'exponentielle utilises-tu ?

[albanxiii]

Bonjour,

Ma question était de savoir pourquoi peut-on passer de l'un à l'autre (développement limité) ?

Je vais horrifier les mathématiciens du forum... à la physicienne, on développe avec la formule du binôme, et on regarde ce que deviennent les coefficients quand . A défaut d'être rigoureux, ça marche pour aider l'intuition.

@+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite14cee04b]

Bonjour,
Je vais horrifier les mathématiciens du forum... à la physicienne, on développe avec la formule du binôme, et on regarde ce que deviennent les coefficients quand . A défaut d'être rigoureux, ça marche pour aider l'intuition.
@+

Ben moi aussi, j'ai fait le développement, et l'on voit très bien que plus ça va et plus et aussi plus .
Je suis dans le même cas de figure qu'Albanxiii (plus doué en physique qu'en math), je comprend ce qui se passe, mais je n'arrive pas à savoir pourquoi ça tend nécessairement vers .
Il en est de même pour la somme.
C'est d'ailleurs pour cette raison que j'ai ouvert cette discussion sur le Forum.
Voilà, avis aux lanternes qui pourraient éclairer ma conscience !

Blender82

[Seirios]

Tu peux écrire , puis faire un petit développement limité , pour trouver que .

[albanxiii]

Re,

La méthode de Seirios est correcte bien sur, mais je la trouve un peu circulaire.
Pour une autre démonstration de , voir ce document de Daniel Perrin http://www.math.u-psud.fr/~perrin/CA...onentielle.pdf (je pense que c'est tout à fait abordable, même par Blender82 et moi-même ).

@+

[Seirios]

La méthode de Seirios est correcte bien sur, mais je la trouve un peu circulaire.

Le problème est que Blender82 n'a pas précisé ce qui est considéré comme aquis... Une alternative serait de remplacer le développement limité du logarithme par un encadrement trouvé une simple étude fonctionnelle.

[invite14cee04b]

Tu peux écrire , puis faire un petit développement limité , pour trouver que .

Entièrement d'accord, je l'ai trouvé moi même ce raisonnement, en cherchant.
Seulement, je suis tout à fait d'accord sur un point avec Albanxiii, ça tourne en rond, dans le sens où le logarithme népérien est réciproque de l’exponentielle...
Je vais lire ce document proposé par Albanxii et j'aviserai, si je ne comprend toujours pas, alors je vous en ferai part et l'on verra pour l'étude fonctionnelle (j'ai dû en approcher, mais si la votre est meilleure alors je suis preneur)
Merci en tout cas,

Blender82

[Seirios]

Entièrement d'accord, je l'ai trouvé moi même ce raisonnement, en cherchant.
Seulement, je suis tout à fait d'accord sur un point avec Albanxiii, ça tourne en rond, dans le sens où le logarithme népérien est réciproque de l’exponentielle...

Encore une fois, tu ne précises pas ce que tu considères comme aquis : quelle définition de l'exponentielle utilises-tu ?

[invite14cee04b]

Bonjour,
je n'ai que peux de temps alors je vais être bref,
le doc proposé par albanxiii est tout simplement génial ! Je vous le jure !
Pour ma part, je trouve qu'il est clair net et précis, et même plus qu'abordable par n'importe qui.
Quant à la définition de l'exponentielle que j'utilise,... c'est et tout ce qui en découle, c'est à dire que jusqu'à présent, on ne nous à jamais explicité un peu plus ce que c'était exactement
Par contre, il n'explique pas pourquoi on peut écrire l'exponentielle sous la forme d'une somme infinie, héhé...
Mais je vous remercierai beaucoup de pouvoir me l'expliquer !
Merci encore,

Blender82

[Seirios]

Par contre, il n'explique pas pourquoi on peut écrire l'exponentielle sous la forme d'une somme infinie, héhé...
Mais je vous remercierai beaucoup de pouvoir me l'expliquer !

Le problème, c'est que si l'on ne se donne pas une définition au préalable de l'exponentielle, il est difficile de le jutifier, d'autant plus que cette expression est souvent prise comme définition. Une autre définition de l'exponentielle peut être l'unique solution de avec , et auquel cas, on peut vérifier que la série est bien solution de cette équation différentielle.