Exprimer Un en fonction de n

[invite7fa3b928]

Bonjour, voila l'énoncé (classique je suppose mais je n'y arrive pas)

La suite (U_n) est définie par U₀=1 et pour tout n entier, U_n=2U_n²
J'ai posé V_n=ln(U_n)
V_n+1= ln(U_n+1)
V_n+1= ln(2U_n²)

On obtient donc une suite arithmético-géométrique V_n+1= 2ln(sqrt(2)) +2V_n

Je pensais exprimer V_n en fonction de n puis U_n en fonction de n mais je bloque en fait

J'arrive a quelque chose du genre V_n= ln 2 * 2(2ⁿ-1)
D'où U_n= e ^Vn=e^{ln 2 * 2(2n-1)}=4^2n-1

Sauf qu'expérimentalement on trouve ce résultat incorrecte

N'y aurait-il pas un moyen plus simple de procéder ?

Merci de votre aide
Cordialement poi
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[gg0]

Bonsoir.

Il y a une erreur dans "V_n= ln 2 * 2(2ⁿ-1)". L'idée est bonne.
Sinon, on peut facilement inventer la bonne formule en regardant les premiers termes puis faire une preuve par récurrence.

Cordialement.

[invite7fa3b928]

Oui, d'accord,
Je montrerais par récurrence que pour tout n entier non nul, U_n=2²ⁿ⁺¹

Merci

[gg0]

Raté !

On n'a pas u₀=2. même avec

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7fa3b928]

C'est bien pour ça que j'ai dis pour tout n entier non nul. Je n'ai pas trouver la relation pour tout entier, je vous l'accorde, mais ceci est vrai pour les entiers non nuls.

[gg0]

Difficile de t'aider,

car je ne suis même pas sûr de ta formule. les premiers termes (je commence à u₀) sont 1; 2; 8;128.
Ton u₁ est 2 élevé à la puissance 3 qui fait 8, pas 2.

Cordialement.

[invite7fa3b928]

Oui vous avez raison, je ne sais pas pourquoi j'ai dis ça, U_n=2^2n-1 semble être correct.