dérivée non continue et intégration

[invitea4de43f7]

Bonjour,
je conçois depuis peu l'existence de dérivées non-continues de fonctions de R dans R. Encore que, elles sont peut-être simplement non-continues à cause d'une "faille" si je puis dire, dans la définition de continuité ou de limite. En effet, une bien connue est f telle que f(0)=0 et f(x)=x^2*sin(1/x) en dehors de 0. On peut vérifier qu'elle est dérivable en 0 et que sa dérivée n'est pas continue en 0 simplement parce que la dérivée n'admet pas de limite en 0. Mais la courbe représentative de cette fonction est bien une et une seule ligne, sa seule particularité étant que toute restriction de cette courbe à un intervalle contenant 0, même de longueur finie, reste de longueur curviligne infinie. A partir de cet exemple, j'ai essayé de comprendre pourquoi on ne peut écrire :

f(b)-f(a)= intégrale[a;b](f'(t)dt)

que si f' est continue. Je ne vois pas comment une variation (f(b)-f(a)) peut ne pas être égale à une somme de plus petites variations entre les mêmes bornes (à savoir l'intégrale), rien que par la relation de Chasles. Si vous pouviez m'expliquer pourquoi la continuité de la dérivée est obligatoire, je serais reconnaissant. Merci d'avance
Daniel
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[gg0]

Bonjour.

Je n'aurai sans doute pas la possibilité de revenir sur ce sujet rapidement, mais une remarque d'évidence :
"Je ne vois pas comment une variation (f(b)-f(a)) peut ne pas être égale à une somme de plus petites variations entre les mêmes bornes (à savoir l'intégrale),.." montre que tu utilises une idée intuitive de l'intégrale, valable pour justement une fonction continue.
En fait, il faudrait que tu reviennes à une définition générale de l'intégrale (Riemann, ou Henstock par exemple), pour voir ce qui se passe (et ce qui gêne du côté de 0 pour le contre exemple).
Mais restons-en à une définition élémentaire et admettons qu'un fonction continue sur un intervalle y admet des primitives, ce qui définit l'intégrale par

où f est continue sur [a,b] et F'=f.
Dans ce cas, tu peux utiliser ta relation de Chasles sur n'importe quel intervalle fermé de ]0;1], mais tu auras beau multiplier les intervalles, tu n'arriveras pas à 0, puisque justement, il n'y a pas continuité en 0.

Cordialement.

[invitea4de43f7]

Bonsoir,

merci,
je crois que je commence à me faire une idée du problème. Mais pour s'assurer qu'il n'y a pas de "failles", il faut bien les chercher. Et en cherchant, je me dis quand-même que la dérivée de x^2*sin(1/x) traduit exactement les variations de la fonction, et que donc quelle que soit la restriction autour de 0, et même EN 0, la dérivée reste fidèle aux variations de la fonction (puisque cette dernière est justement dérivable) et donc à partir de là j'ai beaucoup de mal à concevoir que la fonction n'est pas "reconstructible" par sommation de ses variations. Mais peut-être que le problème est plus abstrait que je ne l'imagine.

Daniel

[inviteea028771]

Tu as des fonctions qui sont continues, et dont la dérivée est presque partout nulle.

Donc si tu prends l'intégrale de sa dérivée, tu obtiens la fonction nulle, et non pas la fonction de départ.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonctio...7interrogation


Bien entendu, il s'agit généralement de "méchantes fonctions"

[A voir en vidéo sur Futura]