Application linéaire

[soso1022]

Bonjour à tous,

j'ai un petit soucis avec les matrices, je débute et n'ayant pas assez de connaissance sur les matrices j'ai un peu de mal sur cet exo qui à pourtant l'air simple:

Soit la matrice 2*2 tel que A=(0 1, 1 0)

représentant une application linéaire f d’un espace vectoriel muni
d’une base {ê1,ê2 } (je mets des ^ pour vecteur)

1)Déterminer et tracer f(ê1), f(ê2) et f(û) avec û=(u1,u2) dans la base {ê1,ê2 }

2)Résumer par une phrase ce que fait l’application linéaire (ou la matrice A).
3)En déduire sans calcul les deux vecteurs propres

Voici mes réponses:
1) Je suppose donc que ê1=(1,0) et ê2=(0,1)
f(ê1)=A.ê1=A.(1,0)=ê2
f(ê2)=A.ê2=A.(0,1)=ê1
f(û)=A.û=A.(u1,u2)=(u2,u1)

2)On voit que les coordonnées s'inversent suite à cette application linéaire

3) Je ne sais pas comment déduire cela sans calcul...


Je bloque donc pour la déduction des deux vecteurs propres, et des valeurs propres associés, si on demande de déduire il n'y a pas besoin de calcul n'est ce pas?donc c'est visible aussitôt mais je débute alors je ne vois pas.

Merci pour votre aide!
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[gg0]

Bonjour.

Ne vois-tu pas de vecteurs qui sont transformés en un de leur multiple (simple) par échange des coordonnées ? il y en a qui sont évidents, puis comme il faut une autre direction, on trouve assez vite d'autres.

Cordialement.

NB : Un calcul élémentaire donne les deux valeurs propres.
NBB : la formulation "les deux vecteurs propres" est malsaine. Si v est vecteur propre, kv l'est aussi.

[soso1022]

Oui j'ai dit qu'il y avait un échange de coordonnées, et les valeurs propres sont -1 et 1, ils me manquent plus que les vecteurs propres associés à ces valeurs propres mais je ne sais pas comment procéder!

[gg0]

Allons donc !

trouver un vecteur qui ne change pas quand on échange ses coordonnées c'est évident (il y en a bien sûr une infinité). idem pour -1.

NB : Il ne s'agit pas de calculer, mais de penser.

[A voir en vidéo sur Futura]

[soso1022]

Bonjour,

Je crois avoir compris, donc les vecteurs propres sont tous les vecteurs ayant les coordonnées identiques suivant chaque base comme (1,1) (2,2) (3,3) etc... car on ne change rien à ces vecteurs lors de l'application. Pour ce cas la on voit bien que la valeur propre associée est 1 , mais je ne trouve pas d'exemple avec -1.

[gg0]

Ben,

le vecteur doit donner son opposé, comme (1;-1), par exemple !

En posant (u,v)=a(v,u), on trouve les deux valeurs de a (1 et -1) et

Cordialement.

[soso1022]

Merci pour ton aide