Extremums foncion calcul différentiel

[invited009b556]

Bonjour ,

je dois trouver les valeurs maximales et minimales de la fonction f(x,y)=6-4x-3y sur le cercle x²+y²=1
J'ai commencé par calculer les gradients de f et g aux points (x,y,z) et j'arrive à (-4,-3)=lambda de (2x,2y)
mais aprés je ne sais pas comment trouver les valeurs parce que j j'ai un lambda qui dépend de x et y , donc je suis bloquée , comment faire pour trouver les valeurs?

Je dois trouver également le gradient ensuite de f(x,y)=sin(xsiny)) j'ai trouvé (siny²cos(xsiny),xcosy) est ce bon?

Merci
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[invite1228b4d5]

Bonjour,

le gradient ne permet de trouver les extrema que sur des ouverts ! Or, le cercle n'est pas un ouvert de R2...
Essayer plutot de paramétrer votre cercle (genre x=cos t, y=sin t, ou z= exp(it)) pour ensuite vous ramener à des fonctions de R dans R

[invited009b556]

Merci de ta réponse , mais dans le cours on a toujours fait des exemples avec un cercle aussi et on les trouvait les extrema , mais on avait des x et y dans le gradient de f , donc c'était simple pour trouver lambda mais là on en a pas ..
Et on a jamais paramétrer..

[invite705d0470]

Peut on aussi essayer d'introduire et d'expliquer qu'il existe un multiplicateur de lagrange tel que ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited009b556]

ca revient à ce que j'ai écrit comme système non?
aprés le lambda je ne le trouve pas

[invite705d0470]

En effet !
Mais étant en train d'étudier des extrema sous contrainte (être sur le cercle), ce système n'admet que deux valeurs du coefficient de Lagrange, et donc deux solutions (opposées l'une de l'autre).
Géométriquement, les lignes de niveau de f sont claires (des droites parallèles) donc on est ramené à chercher deux points de tangence du cercle avec ces droites, ce que l'équation de départ traduit.

Cette égalité n'étant pas à proprement parlé dans mon cours (est-ce si trivial ?), je l'aurais démontrée (ou essayé ^^), mais si elle est admise, la première méthode est rapide.

Un point de vue géométrique serait-il validé ? ...

Pour le gradient de la seconde fonction, j'ai plutôt trouvé

[invited009b556]

géométriquement je ne penses pas que ca va fonctionner.. il faut des valeurs précises je penses ..

je ne vois pas comment les trouver , mais je sais que c'est avec le multiplicateur car on avait utilisé ceci .

Pour le gradient , c'est pas de la forme fog = gradient de f au point g(x)* gradient de g au point x ?
du coup j'ai trouvé pour le 1er gradient : sinycos(xsin(y))
et le deuxième : sin y ..peut être j'ai pas la bonne formule

[invite705d0470]

Ah oui mais géométriquement on peut très bien trouver ces valeurs: ce sont les points du cercles ou sont tangentes les droites 3y+4x= constante. On trouve alors les mêmes solutions (à savoir +\-(4/5,3/5) )
Enfin, même en supposant que le point de vue géométrique est inutile (ce que je ne pense pas, mais je ne suis pas du tout qualifié, alors bon ...) on a ce résultat en utilisant le système d'équation que tu as: celui avec le multiplicateur et le fait que les points recherchés sont sur le cercle (élève au carré et additionne, cela vaut alors 1 !)

[invited009b556]

ah j'ai trouvé ces solutions là ouf !
il faut ensuite calculer les valeurs en ces points je trouve toujours 1 c'est normal?

Le gradient j'ai toujours pas trouvé ta réponse ..

[invite705d0470]

Je me suis peut être trompé en dérivant, mais mon résultat m'avait l'air correct (on dérive en fixant y, puis l'inverse).
Ça ne peut pas faire 1 ! La fonction serait alors constante sur le cercle, or on a vu que ses lignes de niveau sont des droites !!
Ça soit être une erreur de calcul, vraiment.