Produit scalaire et combinaison linéaire

[invitefd3c8bd7]

Bonsoir, pouvez vous m'aider à résoudre ce problème s'il vous plaît?

Voici l'énoncé:
Soit u1=(1,0,1), u2=(0,1,1) et u3=(1,1,0) trois éléments de R^3.
1) Montrer que tout élément (a,b,c) de R^3 peut s'écrire d'une façon unique comme combinaison linéaire de u1,u2,u3 c'est-à-dire que pour tout (a,b,c) de R^3, il existe x,y et z uniques tels que: (a,b,c)=xu1+yu2+zu3.
2) On sait que la famille {u1;u'2;u'3} est une famille orthogonale de R^3
avec u'2=u2-(1/2)u1=(-1/2;1;1/2) et u'3=u3-(1/3)u1-(1/3)u2=(2/3;2/3;-2/3) que j'ai calculé précédemment.
Comment passer de la famille {u1;u'2,u'3} à une famille orthonormale ?

P.S: pour la question 2), on sait que comme il s'agit d'une famille orthogonale, il suffit de montrer qu'elle est normale maintenant pour qu'elle soit orthonormale. Il faut donc montrer que norme de u1=norme de u'2=norme de u'3=1.
Seulement moi je trouve, norme de u1=racine(2); norme de u'2=racine(1,5) et norme de u'3=4/3.

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonsoir.

1) résous l'équation d'inconnues x, y et z (a, b et c sont des paramètres). Une égalité de triplets est simplement trois égalités entre les composantes.
2) par définition de "orthonomé", normer.

Bon travail !

[invitefd3c8bd7]

Pour la 1), on a (a,b,c)=xu1+yu2+zu3=(x+z;y+z;x +y) donc a=x+z; b=y+z et c=x+y
Mais je ne vois pas en quoi cela répond à la question...

[invited9b9018b]

Bonsoir,

En l'état, ça ne répond pas à la question : il faut résoudre en x,y,z (exprimés en fonction de a,b,c)

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Effectivement,

ne pas faire ce que je t'ai conseillé ne t'amène à rien de bon

[invitefd3c8bd7]

En exprimant x,y et z en fonction de a,b et c; je trouve:
x=(a-b+c)/2
y=(-a+b+c)/2
z=(a+b-c)/2
mais je ne vois toujours pas en quoi cela répond à la question...