Partie non dénombrable d'un intervalle

[invite8133ced9]

Bonsoir,

Je n'arrive pas à faire un lien entre de notions topologiques et le caractère de non dénombrabilité dans l'ensemble des réels. Dans ce qui suit quand je dis "segment", "intervalle", comprenez "segment réel".

1er problème:
L'un d'entre vous pourrait-il m'indiquer quels arguments on peut utiliser pour montrer que l'adhérence d'une partie indénombrable P d'un intervalle est une union dénombrable ou finie de segments? (le fait que ça soit des segments plutôt que des intervalles ne m'importe pas, par contre des segments plutôt que des fermés oui!)

Déjà, il me semble que c'est vrai; pas de contre-exemples à l'horizon.

J'ai l'impression d'être bloqué par le fait qu'une partie de P sera dense dans une partie de l'intervalle tandis que l'autre ne le sera pas, donc je ne peux même pas commencer à montrer que P est dense. Déjà ce qui m'aiderait serait d'arriver à cibler les plus grands segments dont toute partie accueille une partie indénombrable de P, si vous voyez ce que je veux dire.
Mais ça aussi ça à l'air brouillon et tortueux au final.

2ème problème:
Version alternative, je veux cette fois-ci montrer qu'un fermé est une union dénombrable de segments. Le fermé peut être compact si vous le souhaitez, mais je ne crois pas que ça aide.
Là non plus je ne vois pas de contre exemples; il faut dire que quand je cherche un fermé je pense à une union dénombrable de segments donc...
Pour la démo, je sais pas, on peut pas partir par l'absurde vu que c'est aussi par exemple l'union potentiellement indénombrable de ses singletons, ou l'union de segments et d'intervalles semi-ouverts s'intersectant. Je n'arrive pas à mettre le doigt sur une démonstration constructive non plus.


Voilà voilà, à vous!
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[invitef3414c56]

Bonsoir,

L'ensemble de Cantor me semble \^etre un contre-exemple:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Ensemble_de_Cantor

Il est fermé, non dénombrable et totalement discontinu, donc les seuls segments qui sont inclus dedans sont des singletons, et par suite il ne peut \^etre réunion dénombrable de segments.

Cordialement.

[invite8133ced9]

Diantre! Merci Jedoniuor, je préfère ne pas trop me casser la tête à démontrer des énoncés faux.

Il est donc possible qu'une partie non dénombrable de R ne soit dense dans aucun intervalle de R. Hum.

Ceci m'amène à un autre problème.
Mon but ultime est en fait de montrer un résultat analogue à "toute fonction numérique continue* sur un segment ne change de signe qu'un nombre fini ou dénombrable de fois".
*au sens de la topologie usuelle de R.

Je pensais, dans une troisième version, utiliser la densité que je croyais nécessaire d'une telle partie P pour contredire la continuité uniforme de la fonction.
Ici, mettons que P soit du type ensemble de Cantor, on peut toujours trouver pour n'importe quel point M de P et n'importe quel écart e un point N situé à une distance inférieure à e de M. Sans passer par le théorème de Heine, cela contredit la définition que j'avais choisie pour l'analogue de "changer de signe" selon laquelle il faudrait qu'il existe un intervalle semi-ouvert en M sur lequel la fonction soit strictement positive par exemple.

On se ramène à justifier l'existence du point N sur "les zones où P est non dénombrable". Je crois voir comment faire. Je vais commencer par mettre de côté la plus grande partie de [0;1] (oui, moi aussi je suis dans [0;1]) dont l'intersection avec P est dénombrable, comme ça il ne restera plus que les zones avec des points aussi proches qu'on veut!

Bien, merci en tout cas, je repasserai si j'ai un problème

[Seirios]

Bonsoir,

Une possibilité est de remarquer que l'ensemble des points de changement de signe est discret. Cela vient principalement du fait que si f est non nulle en un point, alors alors sera non nulle en un voisinage de ce point (par continuité). En conséquence, un compact ne contiendra qu'un nombre fini de points de changement de signe ; et comme la droite réelle s'écrit comme une union dénombrable de compact, il ne reste plus qu'à conclure.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8133ced9]

Bonsoir Seirios.

Le souci avec cette preuve est que rien n'assure que la borne inférieure des diamètres des intervalles sur lesquels la fonction est strictement positive n'est pas zéro. On peut imaginer une fonction continue changeant de signe tous les 1/n, la somme des diamètres ne divergera pas et on aura une infinité de changements de signe.

Mais ce n'est pas la dénombrabilité qui pose problème. Je souhaite parler de changements de signes consécutifs, c'est pourquoi je ne peux me satisfaire de non dénombrabilité; la dénombrabilité suffit. (et de toute façon c'est tout ce que j'aurai )

[inviteea028771]

Bonsoir,

Une possibilité est de remarquer que l'ensemble des points de changement de signe est discret. Cela vient principalement du fait que si f est non nulle en un point, alors alors sera non nulle en un voisinage de ce point (par continuité). En conséquence, un compact ne contiendra qu'un nombre fini de points de changement de signe ; et comme la droite réelle s'écrit comme une union dénombrable de compact, il ne reste plus qu'à conclure.

Attention, un compact peut contenir une infinité de points de changements de signe, par exemple la fonction f(x) = x sin(1/x) (prolongée par 0 en 0) change une infinité (dénombrable) de fois de signe sur [-1,1], et elle est continue sur ce compact.


Je ne me rappelle plus de l'argument qui marche bien ici :/

[invite8133ced9]

En passant par Heine + le théorème de décomposition des ouverts de R + des notions de cardinalité d'union d'ensembles, j'arrive au résultat.
Mais d'une part, je pense qu'il est aussi valable sur un intervalle, où Heine ne s'appliquerait plus; d'autre part, ça me semble compliqué.

C'est assez étrange que ce truc ne soit pas vu en cours alors que c'est assez important de savoir ce que peut faire une fonction numérique continue et ce qu'elle ne peut pas faire...

[invite8133ced9]

Pas besoin de Heine en fait, mais tout de même.

[invitef3414c56]

Bonjour,

Pour l'énoncé sur les fonctions continues, je pense que l'on peut raisonner de la manière suivante:
Soit I un intervalle de R non réduit à un point, et f continue de I dans R. Soit U l'ensemble des points de I où f est strictement positive. Alors U est un ouvert de R (que l'on peut supposer non vide, sinon c'est trivial), qui est donc réunion de ses composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts (dans I) non vides disjoints. L'ensemble de ces intervalles est au plus dénombrable (choisir un rationnel dans chacun d'entre eux, on a fabriqué une application injective de cet ensemble dans les rationnels) L'ensemble des points où f change de signe est inclus dans l'ensemble des extrémités de ces intervalles, donc au plus dénombrable.

Cordialement.

[Seirios]

Attention, un compact peut contenir une infinité de points de changements de signe, par exemple la fonction f(x) = x sin(1/x) (prolongée par 0 en 0) change une infinité (dénombrable) de fois de signe sur [-1,1], et elle est continue sur ce compact.

En fait, j'ai oublié une hypothèse : je n'ai pas vérifié que l'ensemble des points de changement de signe était fermé, ce qui peut être faux...

Pour l'énoncé sur les fonctions continues, je pense que l'on peut raisonner de la manière suivante:
Soit I un intervalle de R non réduit à un point, et f continue de I dans R. Soit U l'ensemble des points de I où f est strictement positive. Alors U est un ouvert de R (que l'on peut supposer non vide, sinon c'est trivial), qui est donc réunion de ses composantes connexes, qui sont des intervalles ouverts (dans I) non vides disjoints. L'ensemble de ces intervalles est au plus dénombrable (choisir un rationnel dans chacun d'entre eux, on a fabriqué une application injective de cet ensemble dans les rationnels) L'ensemble des points où f change de signe est inclus dans l'ensemble des extrémités de ces intervalles, donc au plus dénombrable.

Considère-t-on qu'il y a changement de signe si la fonction stagne à zéro puis devient positive (ou négative) ?

[invitef3414c56]

Bonjour,

Seirios a effectivement soulevé un point intéressant. Si z est un point de "vrai" changement de signe (f est de signe opposé sur des intervalles ]z-e,z[ et ]z,z+e[ (e>0 petit), alors effectivement z est une des extrémités des composantes connexes de mon ensemble U (qui est d'ailleurs un ouvert de I, pas de R comme je l'ai écrit), et on a le résultat pour cette notion de changement de signe. Si z est tel que sur l'un des intervalles ]z-e,z[ ou ]z,z+e[ f est strictement positive et sur l'autre f est nulle, alors on a encore que z est une extrémité d'un des intervalles constitutifs de U.

Par contre, si f est strictement négative sur l'un de ces intervalles, et nulle sur l'autre, on ne le récupère pas (mais on le récupère en considérant l'ensemble V des points où f est strictement négative).

Il y a encore le statut des points tels que f soit strictement positive sur par exemple ]z,z+e[, et ne garde pas un signe constant sur tout intervalle de la forme ]z-r,z[, r>0. Exemple: I=]-1,1[, f(x)=x\sin(1/x) sur ]-1,0[, f(x)=x sur [0,1[ et z=0. Mais on peut difficilement parler de changement de signe dans ce cas.

Cordialement.

[invite8133ced9]

Ta démo est simple et efficace Jedoniuor.
Effectivement il y a plusieurs types de changement de signe. Dans mon cas j'ai fini par ne m'intéresser qu'aux points isolés en lesquels la fonction est nulle et c'est cet ensemble dont j'ai montré la dénombrabilité. Cela permet de zapper la distinction des types de points de coupure de l'axe horizontal.

J'ai choisi comme définition " f change de signe en un point z si f(z) = 0 et s'il existe e > 0 tel que f est strictement positive sur [z-e;z[ et strictement négative sur ]z,z+e] par exemple". Ce n'est pas une bonne traduction de "changer de signe" mais il se trouve que je n'utilise pas ces termes en vrai.



S'il existait une fonction n'ayant un signe constant sur aucun des intervalles d'un ouvert, alors avec cette définition, elle ne changerait pas de signe. Donc ça ne serait pas un problème.
Mais une telle fonction n'existe pas non plus; dans l'exemple avec x*sin(1/x), cette fonction est de signe constant sur tous les ]-1/n*pi ; -1/(n+1)*pi[.
Cela est du au fait que dans le cas contraire, pour un point donné M de ]1/(n+1)*pi ; 1/n*pi[ en lequel la fonction n'est pas nulle, il existerait alors avec les valeurs intermédiaires un autre point de ]1/(n+1)*pi ; 1/n*pi[ aussi proche qu'on veut du premier et tel que la fonction s'annule en ce point. La valeur |f(M)| fournirait une contradiction de la continuité de la fonction.


Quand un fichier latex (TexWorks) apparaît incomplet et mélangé, tandis que la version pdf est exacte, c'est dû à la taille du fichier? Y a-t-il moyen de le récupérer?

[invite8133ced9]

Pardonnez les doubles post ainsi que le tutoiement intempestif; c'est qu'il faut être rapide ici, pour pouvoir modifier son message.

Jedoniuor, dans votre preuve, vous utilisez un argument qui rend impossible le troisième cas de points (dans votre message de 8h38), du coup je ne comprends pas quel est le problème avec ce cas et avec votre démonstration.

[invitef3414c56]

Bonjour,
Je ne pense pas qu'il y ait d'ennui avec ma preuve, mais Seirios a bien fait de demander que l'on précise la signification de "Change de signe". Avec la définition que j'ai appelée "vraie" (et qui est aussi la v\^otre) dans mon message, pas de problème; on peut remarquer que l'on peut étendre un peu en autorisant la définition de Seirios (nulle d'un c\^oté, strictement positive ou négative de l'autre) en modifiant un peu, mais le reste de mon message n'a pas vraiment de rapport avec la question posée.

Cordialement.

[invite8133ced9]

Bonjour,

Me revoici. Merci pour les précisions.

Le passage "L'ensemble des points où f change de signe est inclus dans l'ensemble des extrémités de ces intervalles, [...]" se justifie avec la définition de "changer de signe", mais pas (rapidement) avec celle de "s'annuler en des points isolés", ni avec celle de changer de signe au sens intuitif.
Du moins je n'arrive pas à le faire rapidement, il me faut raisonner par l'absurde et réutiliser la décomposition des ouverts. Au final la preuve m'apparaît plus complexe que la version que je trouvais déjà un peu limite.
Après, ce qui me servira n'est que la preuve pour les changements de signes et non celle pour les points isolés, mais bon.


Egalement cordialement!