intégrale loi normale

[kaderben]

Bonjour
Voici deux questions indépendantes.

1°) X suit la loi normal N(0 ;1)
Démontrer que pour tout réel Alpha dans ]0 ;1[, il existe un réel unique a>0 tel que
P(-a<= X<= a) = 1-Alpha

Soit F la fonction de répartition de X
P(-a<= X<= a) = 1-Alpha équivaut à F(a) – F(-a)= 1- Alpha
Soit 2F(a)-1=1-Alpha ou F(a)= 1-Alpha/2
F est positive,continue, dérivable et strictement croissante sur IR et à valeurs dans ] 0 ;1[
Or on démontre facilement que 1-Alpha/2 dans ]0 ;1[
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’image 1-Alpha/2 a un unique antécédent a dans IR.

Je ne sais pas si c’est correct ou pas du tout car j’ai entendu dire qu’il y a une autre démonstration avec les intégrales.



2°) Je n’arrive pas à savoir comment on passe du premier membre au second membre.
On a changé x en x'/V(2), on se retrouve avec 1/V(Pi) au lieu de 1/V(2Pi). Bref j'y comprends rien.
Cependant, si c'est hors programme, peut être il faut pas insister
Merci pour vos commentaires.
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[toothpick-charlie]

pour 1) l'idée est correcte mais il ne suffit pas de dire que F est à valeurs dans [0,1) il faut explicitement dire que F(0)=0 et limF(x)=1 quand x tend vers l'infini. La continuité de F découle du fait que c'est l'intégrale de la densité (la loi normale n'a pas d'atome)

[gg0]

Bonjour.

Pour le 1), il vaut mieux utiliser la fonction G--> P(-x<X<x)=2F(x)-1, définie sur et le fait que .

Cordialement.

[kaderben]

Je ne connais pas l'expression "(la loi normale n'a pas d'atome)"
Pour le 1) ok, j'ai compris vos remarques.
Pour le 2), c'est à mon niveau ou non ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour le 2), c'est un changement de variable assez facile à décoder. t'= ...

[kaderben]

on pose x=x'/V(2)
on pose t=V(2)t', dt=V(2)dt'
l'intégrale du second membre devient:Int(e^(-t'²)/V(pi), -infini,x'/V(2) mais ça ne ressemble pas...

Pour le 1): pourquoi toothpick a écrit:F(0)=0 alors que par définition F(0) = P(X<0) = 0,5 ( puisque la courbe est bien symétrique par rapport à l'axe des ordonnées).

[kaderben]

Je me rends compte que j'ai écrit une bêtise dans mon message ci dessus en écrivant F(0)=0,5
P(-a<=X<=a)=0 si a=0 on a bien F(0)=0
Donc je "retire" ma bêtise!

[gg0]

Bonjour.

Pour éviter les ennuis, il vaudrait mieux éviter F pour la fonction . Car F désigne généralement la fonction de répartition. Et alors on a bien F(0)=0,5. Par contre, avec , on voit que G(0) est la probabilité que X soit égal à 0, probabilité nulle, et G(0)=0.

Cordialement.

[kaderben]

C'est vrai, c'est une source d'erreur!
Pour le 2), peut être j'ai écrit n'importe quoi ? Peut être laissons tomber! C'est la première fois que je vois ça sur un livre.