Conjecture sur triplet de Pythagore.

[skeptikos]

Bonjour,
Ayant calculé un grand nombre de triplet de Pythagore a^2 = b^2 + c^2, je constate que si c est déjà le carré d'un nombre impair, le triplet de Pythagore est toujours de la forme a^2 = (a-1)^2 + c^2.
Est ce que cela a déjà été démontré? Est ce qu'il y a des exemples contraires?
@+
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[Jedoniuor]

Bonsoir,
Sauf erreur de calcul, cela ne marche pas.

En faisant l'analyse de votre relation (j'ai supposé que a,b,c étaient premiers entre eux), on voit que l'on a nécessairement que
2a=(2u+1)^4+(2v+1)^4

2b=(2u+1)^4-(2v+1)^4

c=(2k+1)^2=(2u+1)^2(2v+1)^2
où 2u+1 et 2v+1 sont premiers entre eux.

Sous ces conditions, le calcul montre que l'on a là effectivement un ensemble paramétrique de solutions (pour tout couple (u,v)).

Si v=0, on voit bien que b=a-1. Mais si on prend c=5^2*3^2, c'est-à-dire que u=2 et v=1, on a la solution

a=353, b=272, c=225=(15)^2

Et pour cet exemple, on n'a pas b=a-1.

Cordialement.

[skeptikos]

Mais on a bien 25313^2 = 25312^2 + 225^2 également.
Je note quand même que cela ne serait vrai alors que pour les carrés de nombre premiers de la forme 4*k +1.
Grand merci pour votre réponse qui m'aide beaucoup.
@+