Voici l'intégralité de ma réflexion qui apporte la preuve absolue que la lignée des Mersenne commencant a 2 est infinie !!
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"LA CONJECTURE MAGNIFIQUE DE SPH"
Cette article parlera des nombres premiers et des nombres premiers de Mersenne.
Deux etant le seul chiffre pair premier, nous travailleront exclusivement avec les nombres impairs.
Qu'un nombre soit premier ou non, il éliminera toujours tous ses multiples.
Par exemple, "3" élimine 6; 9; 12; 15; 18; etc...
Etant donné que je vous avais promis que nous n'utiliserions que les nombres impairs, je reprend mon exemple :
"3" élimine 9 (3*3); 15 (3*5), 21 (3*7); etc...
Si on devais schématiser ce que le nombre "3" élimine, nous pourrions 'dessiner' ceci :
3 élimine : OXOOXOOXOOXOOXOOXOOXOOX......
Cette chaine représente pour chaque nombre impair (en partant de 1) un symbole : un 'O' pour dire qu'il entoure le nombre (il ne l'élimine pas) et une croix 'X' pour dire que notre nombre est éliminé (criblé).
Mieux, on sait qu'a intervale très régulier, notre "3" crible un nombre (ici, tous les nombres égaux à 3x avec x impair)
On pourrait donc par convention définir une mini chaine qui se répèterait a l'infini.
Cette technique que j'ai utilisé depuis le début, je l'ai appelé ADN.
Voici l'ADN de 3:
3[OXO]
Sous entendu, 3 crible le 3 (le 'X' de cette chaine : 'OXO'), puis le 9 (en se repositionnant sur 'X' après une boucle).
Bref, pour tout nombre, on a autant de symbole avec un seul et unique 'X' qui se trouve toujours en plein milieu.
Au hazard, je suis certain de cet ADN : 11[OOOOOXOOOOO]
C'est valable pour les nombres premiers ou non. Mais comme vous le savez, si un nombre n'est pas premier, c'est inutile de voir ce qu'il crible car un précédent nombre premier aura fait le travaille. Exemple avec 3 et 9 :
3[OXO]
9[OOOOXOOOO]
Si on recopie l'ADN de 3 a la meme longueur que l'ADN de 9, on a :
3[OXOOXOOXO]
9[OOOOXOOOO]
On vois donc que le nombre '9' ne crible rien de nouveau par rapport au crible de '3'
Nous sommes donc pret à cribler des nombres; meme lointains. On va donc voir quel impact aura nos cribles sur des nombres de mersennes.
Un nombre de mersenne, c'est quoi ? C'est un nombre qui a ce format : (2^n)-1
D'une part, il faut que 'n' soit un nombre premier. D'autre part, il faut que le résultat de (2^n)-1 soit aussi un nombre premier !
(2^3)-1=7
'3' et '7' etant premiers, '3' est donc un nombre de Mersenne.
Mais saviez vous que certains nombres premiers n'ont JAMAIS aucune incidence dans le crible d'un quelconque nombre au format (2^n)-1 ?
(ps : je fais toujours référence a des nombres de mersenne qui ne sont jamais inferieur a 7)
En voici la preuve. Prenons le nombre premier '3' :
3[OXO]
Peut il cribler le '7' (un nombre de mersenne) ? non. Le 7 tombe sur le premier symbole.
Mersenne suivant : le 31 (et oui, rapellez vous que dans (2^n)-1, le 'n' est impair puisque 'n' DOIT etre premier pour valider l'une des 2 condition d'un mersenne premier) Le crible t'il ?
Non, car le 31 tombe aussi sur le premier symbole. On est donc CERTAIN que QUEL QUE SOIT 'n' (impair), on tombera TOUJOURS sur le premier symbole 'O'
Pour le nombre premier '5', c'est pareil :
5[OOXOO]
7 tombe sur le 4eme symbole ('O')
31 tombe le 1er symbole ('O')
127 tombe sur le 4eme symbole !! (comme pour le '7'). La boucle est bouclé : '5' n'aura jamais d'incidence sur les nombres au format (2^n)-1 (avec n impair, toujours !)
On sait donc que '511' tombera sur le symbole 1.
Le chiffre 7 par contre a une incidence :
7[OOOXOOO]
7 tombe sur le symbole 'X' (comment '7' pourrait il cribler '7' !! pas possible évidement mais on le note quand meme)
31: tombe sur le 2eme symbole
127 : tombe sur le 1eme symbole
511 : tombe sur 'X' (511 est donc éliminé par le nombre premier 7)
2047 : tombe sur le 2eme symbole
8191 : tombe sur le 1eme symbole
32767 : tombe sur 'X' (32767 est donc éliminé par le nombre premier 7)
On vois bien que les résultats se répètent donc, la boucle est bouclé...
Cette technique de l'ADN (en l'état actuel) a cependant un inconvégnent : il faut compter et faire des reports pour savoir sur quel symbole on tombera !
Alors, pourquoi ne pas construire un ADN qui s'adapterait directement aux nombres de mersenne (ce nouvel ADN, nous l'appellerons 'ADN de Mersenne')
Ca voudrait dire que le 3 et le 5 aurait un ADN vide mais ca, on s'en fiche (seuls les ADN remplit nous interesseront)
Donc, au lieu de construire un ADN contenant des symboles qui font référence a des nombres, on utilisera plutot les memes symboles faisant reference à 'n' de l'expression (2^n)-1. Tout en utilisant toujours des nombres impairs et en commencant à 1, on aura :
7[OXO]
Le premier symbole nous dit que 7 ne crible pas 2^1-1
Le 2eme symbole nous indique qu'il crible 2^3-1
Le 3eme correspond à (2^5)-1
En bouclant, le symbole 1 correspond maintenant à (2^7)-1, etc...
Evidement, '7' ne peux pas cribler '7'. En fait, quand on crible un nombre, on peux s'arréter à sa racine. Par exemple, '17' pouvait éventuellement etre criblé par '3' car 3*3<17 mais il ne peux plus etre criblé par '5' et superieur car 5*5 crible à partir de 25 (>17 donc).
Comment savoir quels nombres premiers peuvent cribler un nombre de Mersenne ?
Simple : prenez un ADN de base (pas un ADN de mersenne)
11[OOOOOXOOOOO]
On a 11 symboles numéroté de 1 à 11.
Faites une marque sur le symbole 1 (ici, la marque sera symbolisé ici par # couvrant le symbole) :
11[#OOOOXOOOOO]
Multipliez ce nombre par 4 et marquez ce nouveau symbole :
11[#OO#OXOOOOO]
Multipliez encore (et toujours) par 4. Ca donne 16 mais comme on a 11 symbole, on rabat le reste de 16-11 au debut. On marque donc '5' :
11[#OO##XOOOOO]
Multipliez ce nombre (notre '5') par 4 (ca fait 20-11=9) et marquez ce nouveau symbole :
11[#OO##XOO#OO]
On continu (9*4=36. 11*3=33. 36-33=3) :
11[#O###XOO#OO]
puis (3*4=12. 12-11=1) :
11[#O###XOO#OO]
Et là, on a fini le test (que l'on appellera 'Test des cribleurs de Mersenne') car on viens à nouveau de marquer le symbole 1
Si notre symbole 'X' est rayé, c'est que le nombre premier (ici '11') est un cribleur de Mersenne (ici, '11' n'a JAMAIS d'incidence sur un Mersenne).
Je sais, c'est nouveau pour vous mais c'est précisement ce qui ce passe mathématiquement. Libre à vous de vérifier avec toutes les méthodes que vous voulez...
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J'ouvre une parenthèse :
Saviez vous que cette technique permettait de voir si un nombre quelconque est premier ??
C'est même ainsi que l'on trouve la racine primitive modulo P (au dire de certains..) d'un nombre !!
Il faut procéder de la meme facon mais avec une multiplication par 2 (le 'X' on s'en fiche ici car pour prouver qu'il est premier, on n'en a pas besoin)
Par exemple :
13[OOOOOOOOOOOOO] (on a 13 symboles)
On applique donc la technique du *2:
13[#OOOOOOOOOOOO]
13[##OOOOOOOOOOO]
13[##O#OOOOOOOOO]
13[##O#OOO#OOOOO]
13[####OOO#OOOOO]
13[####O#O#OOOOO]
13[####O#O#OOO#O]
13[####O#O#OO##O]
13[####O#O#OO##O]
13[####O#O##O##O]
13[######O##O##O]
13[######O#####O]
13[############O]
13[############O] Ici on viens de recribler un symbole deja criblé (ici le 1) donc le test s'arrete.
Si tous les symboles excepté le 13 (car ici on testait '13') sont criblés, c'est que 13 est premier !!
(la racine primitive modulo P de 13 est donc le multiplicateur que l'on a utilisé; ici : 2)
Essayons 17 (car il y a un astucieux probleme) :
17[#OOOOOOOOOOOOOOOO]
17[##OOOOOOOOOOOOOOO]
17[##O#OOOOOOOOOOOOO]
17[##O#OOO#OOOOOOOOO]
17[##O#OOO#OOOOOOO#O]
17[##O#OOO#OOOOOO##O]
17[##O#OOO#OOOO#O##O]
17[##O#OOO##OOO#O##O]
17[##O#OOO##OOO#O##O] Double crible en 1
Si au moins un nombre (excepté le 17 car ici on test '17') n'est pas marqué, c'est qu'on n'a rien prouvé. Il faut donc recommencer le test mais avec un autre multiplicateur. Lequel ???
Et bien le test avec *2 etant fini, cela nous indique quels autres multiplicateurs nous devons essayer.
Ici, on a : 17[##O#OOO##OOO#O##O]
On doit donc essayer le '3' puis, si cela ne marche pas, on essayera le '5', puis le '6' puis le '7' puis 10; 11; 12 et 14 (mais jamais le 17 car on test le nombre '17')
Regardons donc ce que donne le multiplicateur '3' (1; 3; 9; 27; etc....) :
17[#OOOOOOOOOOOOOOOO]
17[#O#OOOOOOOOOOOOOO]
17[#O#OOOOO#OOOOOOOO]
17[#O#OOOOO##OOOOOOO]
17[#O#OOOOO##OO#OOOO]
17[#O#O#OOO##OO#OOOO]
17[#O#O#OOO##OO#O#OO]
17[#O#O#OOO###O#O#OO]
17[#O#O#OOO###O#O##O]
17[#O#O#OOO###O####O]
17[#O#O#OO####O####O]
17[#O#O#O#####O####O]
17[#O###O#####O####O]
17[#O###O##########O]
17[#####O##########O]
17[################O]
17[################O] Double crible sur 1
Bingo, tout est coché (sauf lui meme evidement) , donc '17' est premier
(la racine primitive modulo P de 17 est donc le multiplicateur que l'on a utilisé; ici : 3)
Essayont avec le non premier 9 :
9[#OOOOOOOO]
9[##OOOOOOO]
9[##O#OOOOO]
9[##O#OOO#O]
9[##O#OO##O]
9[##O##O##O]
9[##O##O##O] Double crible sur 1
On doit donc tester les multiplicateurs '3' et '6'
9[#OOOOOOOO]
9[#O#OOOOOO]
9[#O#OOOOO#] STOP : Le crible sur '9' me prouve que '9' n'est pas premier.
Je ferme la parenthèse sur ce test de primalité...
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En faisant le Test des cribleurs de Mersenne sur un quelconque paquet de nombre premier, on se rend compte qu'environ 41% des nombres premiers sont des cribleurs de Mersenne (59% des nombres premiers n'internevant JAMAIS dans le crible des Mersenne).
En voici une courte liste (mais je vous encourage bien sûr à vérifier TOUT ce que je dis au fur et à mesure) :
7; 23; 31; 47; 71; 73; 79; 89; 103; 127; 151; 167; 191; 199; 223; 233; 239; 263; 271; 311; 337; 359; 367; 383
431; 439; 463; 479; 487; 503; 599; 601; 607; 631; 647; 719; 727; 743; 751; 823; 839; 863; 881; 887; 911; 919....
Quel aspect ont les ADN de mersenne ?
Réponse :
7 [OXO]
23 [OOOOOXOOOOO]
31 [OOXOO]
47 [OOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOO]
71 [OOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOOO OOOOO]
73 [OOOOXOOOO]
79 [OOOOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOO OOOOOOOOO]
89 [OOOOOXOOOOO]
103 [OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO]
127 [OOOXOOO]
151 [OOOOOOOXOOOOOOO]
etc........ (contrairement à l'ADN d'un nombre, l'ADN de mersenne est très variable)
On se rapelle, un ADN de Mersenne se lit comme ca :
7 [OXO] = [2^1-1; 2^3-1; 2^5-1] puis ca boucle avec les puissances suivantes...
Vous remarquerez que systématiquement, tous les ADN de mersenne sont constitué du même nombre de symboles 'O' avant qu'après le symbole 'X' !
Je ne sais pas si cette 'particularité' est déjà mathématiquement prouvée mais elle est SYSTEMATIQUE (j'attend bien sûr un quelconque contre exemple).
Cela voudrait dire qu'à 'interval' régulier, un cribleur de Mersenne agit.
Regardez bien les ADN de mersenne ci-dessus. Vous n'avez pas remarqué quelque chose de logique ??
Et oui, on vois qui sont les Mersenne Premiers :
7 [OXO] ici, le 3 est coché (2^3-1=7) !
31 [OOXOO] ici, le 5 est coché !
127 [OOOXOOO] ici, le 7 est coché !
Allez, pour le plaisir, je vous copie l'ADN de 8191 :
8191 :[OOOOOOXOOOOOO] 13, Bingo !
Par contre, autant il n'y a apparement jamais 2 ADN de mersenne premiers identiques, autant on peux rencontrer plusieurs ADN de mersenne non premier identiques.
Par exemple :
23 [OOOOOXOOOOO] 11 est premier, 23 aussi, mais 23 n'est en aucun cas un éventuel Mersenne
89 [OOOOOXOOOOO] 11 est premier, 89 aussi, mais 89 n'est en aucun cas un éventuel Mersenne
(Là encore, si il y a mathématiquement une incertitude, une erreur ou un quelconque contre exemple, n'HESITEZ PAS)
Nous voici donc à la dernière étape :
J'attire votre attention sur le fait que 2 est le PREMIER nombre premier.
Le 3 est un mersenne premier de 2 (2^2-1)
Le 7 est un mersenne premier de 3 (2^3-1)
Le 127 est également un mersenne premier (de 7)
Cela peut il continuer ?
OUI, et c'est même une CERTITUDE MATHEMATIQUE !
En voici la preuve :
Tous les cribleurs de mersenne criblent un 'n' multiple de 3.
23 [OOOOOXOOOOO] : Apres le crible de 2^11-1, on crible 2^33-1; 2^55-1; 2^77-1.....
31 [OOXOO] : Apres le crible de 2^5-1, on crible 2^15-1; 2^25-1; 2^35-1.....
47 [OOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOO] : Apres le crible de 2^23-1, on crible ici 2^69-1; 2^115-1; 2^161-1.....
Pourquoi écarter le premier crible me direz vous ?
En effet, pourquoi écarter 2^11-1 (pour le cribleur 23), 2^5-1 (pour le cribleur 31) et 2^23-1 (pour le cribleur 47) !!
Tout simplement parce que pour tester un éventuel mersenne premier de la lignée des mersenne de 2 (on va prendre par exemple le nombre 127), il faut cribler tous les nombres premiers cribleurs de mersenne jusqu'a la racine de 127. Hors, il n'y a que l'ADN de mersenne 7 pour voir si le 'X' de cet ADN crible 2^7-1 !
Regardons cela :
7[OXO] : 2^7-1 tombe sur le premier symbole !! 127 n'est donc pas criblé car le seul cribleur potentiel de 127.
Allons plus loin : peut il cribler le Mersenne de 127 ?????
Regardons où ce trouve 127 :
7[OXO] : 2^127-1 tombe encore sur le premier symbole !! LA BOUCLE EST BOUCLEE !!!!!!!
De tous les cribleurs de Mersenne, 7 etait le SEUL a pouvoir cribler 127.
Maintenant, si l'ADN de Mersenne de 127 ne crible pas 2^127-1 mais tombe sur le meme symbole, c'est que JAMAIS la lignée des mersennes qui a débuté à 2 ne pourra etre criblé :
127[OOOXOOO] BINGO !! 2^127-1 tombe aussi sur le premier symbole. DONC, comme pour son ainé '7' qui ne cesse de tomber sur le premier symbole, les suites tomberont aussi sur ce symbole qui ne crible pas !!!!!
La lignée des Mersenne Premiers ayant commencé par 2 est donc infinie !!
M(2)=3
M(3)=7
M(7)=127
M(127)=X
M(X)=Y
etc.......
J'ai donc trouvé des Mersennes avec un nombre de chiffre incommensurable !!!!!!!!
"FIN DE LA CONJECTURE MAGNIFIQUE DE SPH"
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