A Easythomas et aux autres, voici mon article corrigé, simplifié, clarifié.
Moi, je ne saurait pas le traduite en formule; alors, si quelqu'un peux...
J'invite chacun a donner son avis..."LA CONJECTURE MAGNIFIQUE DE SPH"
Cette article parlera des nombres premiers et des nombres premiers de Mersenne. 'Deux' étant le seul chiffre pair, nous travailleront exclusivement avec les nombres impairs.
Qu'un nombre soit premier ou non, il éliminera toujours tous ses multiples.
Par exemple, "3" élimine 3; 6; 9; 12; 15; 18; etc...
Etant donné que je vous avais promis que nous n'utiliserions que les nombres impairs, je reprend mon exemple :
"3" élimine 3(3*1); 9 (3*3); 15 (3*5), 21 (3*7); etc...
Si on devais schématiser ce que le nombre "3" élimine, nous pourrions 'dessiner' ceci :
3 élimine : oxooxooxooxooxooxooxo......
Cette chaine (en caractères minuscules) représente pour chaque nombre impair (en partant de 1) un symbole : un 'o' pour dire qu'il entoure le nombre (il ne l'élimine pas) et une croix 'x' pour dire que notre nombre est éliminé (criblé).
Mieux, on sait qu'a intervale très régulier, notre "3" crible un nombre (ici, tous les nombres égaux à 3x avec x impair)
On pourrait donc par convention définir une petite chaine qui se répèterait a l'infini.
Cette technique que j'ai utilisé depuis le début, je l'ai appelé ADN.
Voici l'ADN de 3:
3[oxo]
Sous entendu, 3 crible le 3 (le 'x' de cette chaine : 'oxo'), puis le 9 (en se repositionnant sur 'x' après une boucle).
Bref, pour tout nombre, on a autant de symbole avec un seul et unique 'x' qui se trouve toujours en plein milieu.
Au hazard, je suis certain de cet ADN : 11[oooooxooooo]
C'est valable pour les nombres premiers ou non. Mais comme vous le savez, si un nombre n'est pas premier, c'est inutile de voir ce qu'il crible car un précédent nombre premier aura fait le travaille. Exemple avec 3 et 9 :
3[oxo]
9[ooooxoooo]
Si on recopie l'ADN de 3 a la meme longueur que l'ADN de 9, on a :
3[oxooxooxo]
9[ooooxoooo]
On vois donc que le nombre 9 ne crible rien de nouveau par rapport au crible de 3
Nous sommes donc pret à cribler des nombres; meme lointains. On va donc voir quel impact auront nos cribles sur des nombres de mersennes.
Un nombre de mersenne, c'est quoi ? C'est un nombre qui a ce format : (2^n)-1
D'une part, il faut que 'n' soit un nombre premier. D'autre part, il faut que le résultat de (2^n)-1 soit aussi un nombre premier !
(2^3)-1=7
'3' et '7' etant premiers, '3' est donc un nombre de Mersenne.
Mais saviez vous que certains nombres premiers n'ont JAMAIS aucune incidence dans le crible d'un quelconque nombre au format (2^n)-1 ?
(ps : je fais toujours référence a des nombres de mersenne qui ne sont jamais inferieur a 7)
En voici la preuve. Prenons le nombre premier '3' :
3[oxo]
Peut il cribler le '7' (un nombre de mersenne) ? non. Le 7 tombe sur le premier symbole.
Mersenne suivant : le 31 (et oui, rapellez vous que dans (2^n)-1, le 'n' est impair puisque 'n' DOIT etre premier pour valider l'une des 2 condition d'un mersenne premier et, à part '2', il n'y a aucun autre nombre premier pair) Le crible t'il ?
Non, car le 31 tombe aussi sur le premier symbole. On est donc CERTAIN que QUEL QUE SOIT 'n' (impair), on tombera TOUJOURS sur le premier symbole 'o'
Pourquoi en etre certain ?
Car un mersenne a un format 2^n-1 (avec 'n' impair)
Pour simplifier, s'il avait été au format 2^n, nous aurions eu cette suite : 2; 8; 32; 128; 512; 2048; 8192; etc....
Avec un ADN qui aurait été lui aussi pair; c'est à dire [2; 4; 6], on comprend que 2 et 8 tombent sur le premier symbole. Inutile de continuer car le prochain nombre tombera aussi sur le premier symbole. Ce prochain nombre fait en effet 2 fois plus de parcours que 8 par rapport à 2. Puis le prochain fera encore 2 fois plus de parcours que 32 par rapport a 8; etc.....
Voila ce qui explique cette régularité imperturbable.
Pour le nombre premier '5', c'est pareil :
5[ooxoo]
7 tombe sur le 4eme symbole ('o')
31 tombe le 1er symbole ('o')
127 tombe sur le 4eme symbole !! (comme pour le '7'). La boucle est bouclé : '5' n'aura jamais d'incidence sur les nombres au format (2^n)-1 (avec n impair, toujours !)
On sait donc que '511' tombera sur le symbole 1.
Le chiffre 7 par contre a une incidence :
7[oooxooo]
7 tombe sur le symbole 'x'
31: tombe sur le 2eme symbole
127 : tombe sur le 1eme symbole
511 : tombe sur 'x' (511 est donc éliminé par le nombre premier 7)
2047 : tombe sur le 2eme symbole
8191 : tombe sur le 1eme symbole
32767 : tombe sur 'x' (32767 est donc éliminé par le nombre premier 7)
On vois bien que les résultats se répètent donc, la boucle est bouclé...
Cette technique de l'ADN (en l'état actuel) a cependant un inconvégnent : il faut compter et faire des reports pour savoir sur quel symbole on tombera !
Alors, pourquoi ne pas construire un ADN qui s'adapterait directement aux nombres de mersenne (ce nouvel ADN, nous l'appellerons 'ADN de Mersenne' et pour le differencier, il sera en symboles majuscules)
Ca voudrait dire que le 3 et le 5 aurait un ADN vide mais ca, on s'en fiche (seuls les ADN remplit nous interesseront)
Donc, au lieu de construire un ADN avec des symboles faisant référence à des nombres, on prérèrera qu'ils fassent référence à 'n' de l'expression (2^n)-1. Tout en utilisant toujours des nombres impairs et en commencant à 1, on aura :
7[OXO]
Le premier symbole nous dit que 7 ne crible pas 2^1-1
Le 2eme symbole nous indique qu'il crible 2^3-1
Le 3eme correspond à (2^5)-1
En bouclant, le symbole 1 correspond maintenant à (2^7)-1, etc...
Quand on crible un nombre pour voir s'il est premier, on peux seulement tester les nombres entre 2 et sa racine carré. Par exemple, '17' pouvait éventuellement etre criblé par '3' car 3*3<17 mais il ne peux plus etre criblé par '5' et superieur car 5*5 crible à partir de 25 (>17 donc).
Comment savoir quel nombre premier peut cribler un nombre de Mersenne ?
D'abord, situons précisement où se trouvent les Mersenne.
TOUS les mersennes se trouve dans la derniere case d'un tableau carré dont le coté possede 2^n nombres (on bosse avec des nombres impairs a partir de 1).
En 'dessinant' ca, voila ce que ca donne :
Tableau de 2 cases de coté :
01 03
05 07
tableau de 4 cases de coté :
01 03 05 07
09 11 13 15
17 19 21 23
25 27 29 31
tableau de 8 cases de coté :
01 03 05 07 09 11 13 15
17 19 21 23 25 27 28 29
31 33 35 37 39 41 43 45
47 49 51 53 55 57 59 61
63 65 67 69 71 73 75 77
79 81 83 85 87 89 91 93
95 97 99 00 00 00 00 00
00 00 00 00 00 00 00 00
16 cases de coté, 32 cases de coté, 46 cases de coté, 128 cases de coté, 256 cases de coté, 512 cases de coté, etc.........
Voila pourquoi, on observe si l'ADN d'un nombre; par exemple 11
11[OOOOOXOOOOO]
n'a pas dans sa suite le 'X' correspondant a tous les emplacement des mersennes; soit : 4; 4*4; 4*4*4; 4*4*4*4; 4*4*4*4*4; etc...
Voilà comment ce test s'exprime : prenez un ADN de base (pas un ADN de mersenne)
11[oooooxooooo]
On a 11 symboles numéroté de 1 à 11.
Faites une marque sur le symbole 1 (ici, la marque sera symbolisé ici par # couvrant le symbole) :
11[#ooooxooooo]
Multipliez ce nombre par 4 et marquez ce nouveau symbole :
11[#oo#oxooooo]
Multipliez encore (et toujours) par 4. Ca donne 16 mais comme on a 11 symbole, on rabat le reste de 16-11 au debut. On marque donc '5' :
11[#oo##xooooo]
Multipliez ce nombre (notre '5') par 4 (ca fait 20-11=9) et marquez ce nouveau symbole :
11[#oo##xoo#oo]
On continu (9*4=36. 11*3=33. 36-33=3) :
11[#o###xoo#oo]
puis (3*4=12. 12-11=1) :
11[#o###xoo#oo]
Là, on a fini le test (que l'on appellera 'Test des cribleurs de Mersenne') car on viens à nouveau de marquer le symbole 1
Si notre symbole 'x' est rayé, c'est que notre nombre premier (ici '11') est un cribleur de Mersenne (comme le 'x' est encore apparent, c'est que '11' n'a JAMAIS d'incidence sur un Mersenne).
Je sais, c'est nouveau pour vous mais c'est précisement ce qui ce passe mathématiquement. Libre à vous de vérifier avec toutes les méthodes que vous voulez...
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J'ouvre une parenthèse :
Saviez vous que cette technique permettait de voir si un nombre quelconque est premier ??
C'est même ainsi que l'on trouve la racine primitive modulo P (au dire de certains..) d'un nombre !!
Il faut procéder de la meme facon mais avec une multiplication par 2 (le 'x' on s'en fiche ici car pour prouver qu'il est premier, on n'en a pas besoin)
Par exemple :
13[ooooooooooooo] (on a 13 symboles)
On applique donc la technique du *2:
13[#oooooooooooo]
13[##ooooooooooo]
13[##o#ooooooooo]
13[##o#ooo#ooooo]
13[####ooo#ooooo]
13[####o#o#ooooo]
13[####o#o#ooo#o]
13[####o#o#oo##o]
13[####o#o#oo##o]
13[####o#o##o##o]
13[######o##o##o]
13[######o#####o]
13[############o]
13[############o] Ici on viens de recribler un symbole deja criblé (ici le 1) donc le test s'arrete.
Si tous les symboles excepté le 13 (car ici on testait '13') sont criblés, c'est que 13 est premier !!
(la racine primitive modulo P de 13 est donc le multiplicateur que l'on a utilisé; ici : 2)
Essayons 17 (car il y a un astucieux probleme) :
17[#oooooooooooooooo]
17[##ooooooooooooooo]
17[##o#ooooooooooooo]
17[##o#ooo#ooooooooo]
17[##o#ooo#ooooooo#o]
17[##o#ooo#oooooo##o]
17[##o#ooo#oooo#o##o]
17[##o#ooo##ooo#o##o]
17[##o#ooo##ooo#o##o] Double crible en 1
Si au moins un nombre (excepté le 17 car ici on test '17') n'est pas marqué, c'est qu'on n'a rien prouvé. Il faut donc recommencer le test mais avec un autre multiplicateur. Lequel ???
Et bien le test avec *2 etant fini, cela nous indique quels autres multiplicateurs nous devons essayer.
Ici, on a : 17[##o#ooo##ooo#o##o]
On doit donc essayer le '3' puis, si cela ne marche pas, on essayera le '5', puis le '6' puis le '7' puis 10; 11; 12 et 14 (mais jamais le 17 car on test le nombre '17')
Regardons donc ce que donne le multiplicateur '3' (1; 3; 9; 27; etc....) :
17[#oooooooooooooooo]
17[#o#oooooooooooooo]
17[#o#ooooo#oooooooo]
17[#o#ooooo##ooooooo]
17[#o#ooooo##oo#oooo]
17[#o#o#ooo##oo#oooo]
17[#o#o#ooo##oo#o#oo]
17[#o#o#ooo###o#o#oo]
17[#o#o#ooo###o#o##o]
17[#o#o#ooo###o####o]
17[#o#o#oo####o####o]
17[#o#o#o#####o####o]
17[#o###o#####o####o]
17[#o###o##########o]
17[#####o##########o]
17[################o]
17[################o] Double crible sur 1
Bingo, tout est coché (sauf lui meme evidement) , donc '17' est premier
(la racine primitive modulo P de 17 est donc le multiplicateur que l'on a utilisé; ici : 3)
Essayont avec le non premier 9 :
9[#oooooooo]
9[##ooooooo]
9[##o#ooooo]
9[##o#ooo#o]
9[##o#oo##o]
9[##o##o##o]
9[##o##o##o] Double crible sur 1
On doit donc tester les multiplicateurs '3' et '6'
9[#oooooooo]
9[#o#oooooo]
9[#o#ooooo#] STOP : Le crible sur '9' me prouve que '9' n'est pas premier.
(Le crible prouve qu'un nombre n'est pas premier quans on crible le nombre lui meme ou quand on crible 2 fois un autre nombre que le 1)
Je ferme la parenthèse sur ce test de primalité...
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En faisant le Test des cribleurs de Mersenne sur un quelconque paquet de nombre premier, on se rend compte qu'environ 41% des nombres premiers sont des cribleurs de Mersenne (59% des nombres premiers n'internevant JAMAIS dans le crible des Mersenne).
En voici une courte liste (mais je vous encourage bien sûr à vérifier TOUT ce que je dis au fur et à mesure) :
7; 23; 31; 47; 71; 73; 79; 89; 103; 127; 151; 167; 191; 199; 223; 233; 239; 263; 271; 311; 337; 359; 367; 383; 431; 439; 463; 479; 487; 503; 599; 601; 607; 631; 647; 719; 727; 743; 751; 823; 839; 863; 881; 887; 911; 919....
Quel aspect ont les ADN de mersenne ?
Réponse :
7 [OXO]
23 [OOOOOXOOOOO]
31 [OOXOO]
47 [OOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOO]
71 [OOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOOOO OOOOO]
73 [OOOOXOOOO]
79 [OOOOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOOOOOOOO OOOOOOOOO]
89 [OOOOOXOOOOO]
103 [OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOXOOOO OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO]
127 [OOOXOOO]
151 [OOOOOOOXOOOOOOO]
etc........ (contrairement à l'ADN d'un nombre, l'ADN de mersenne n'a plus le même nombre de symboles que le nombre lui même)
On se rapelle, un ADN de Mersenne se lit comme ca :
7 [OXO] = [2^1-1; 2^3-1; 2^5-1] puis ca boucle avec les puissances suivantes...
Cet ADN montre qu'à 'interval' régulier, un cribleur de Mersenne agit.
Regardez bien les ADN de mersenne ci-dessus. Vous n'avez pas remarqué quelque chose de logique ??
Et oui, on vois qui sont les Mersenne Premiers :
7 [OXO] ici, le 3 est coché (2^3-1=7) !
31 [OOXOO] ici, le 5 est coché !
127 [OOOXOOO] ici, le 7 est coché !
Allez, pour le plaisir, je vous copie l'ADN de 8191 :
8191 :[OOOOOOXOOOOOO] 13, Bingo !
Il n'y a jamais 2 ADN de mersenne premiers identiques. Mais ce n'est pas le cas pour les ADN de mersenne non premier.
Par exemple :
23 [OOOOOXOOOOO] 11 est premier, 23 aussi, mais 23 n'est en aucun cas un éventuel Mersenne
89 [OOOOOXOOOOO] 11 est premier, 89 aussi, mais 89 n'est en aucun cas un éventuel Mersenne
De plus, 23*89 donne 2047; un nombre de Mersenne non premier (ce nombre, c'est bien sûr 2^11-1)![]()
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