Factorisation et Mersenne

[leg]

bonjour à tous

quelqu'un aurait il la bonté de me confirmer ou me donner les facteurs Premiers P de 2¹²⁰ - 1
en principe les premiers facteurs P autre que 3ⁿet 5ⁿ serait 7,11,13,31,41,61,151,331, 1321, peu être 19,73,631,23311,18837001,
il me faudrait la suite svp

autrement dit est ce que la décomposition de 2^k30 - 1 fait toujours appel au même facteurs P < à la suite des facteurs déjà trouvé pour 2^{(k-1) 30} -1 ?
facteurs P > 5
2³⁰-1 = 7,11,31,151,331
2⁶⁰-1 =7,11,31,151,331, 13,41,61,1321
2⁹⁰-1 = 7,11,31,151,331 ; 19,73,631,23311,18837001.

2¹²⁰-1 = en principe ces mêmes facteurs P...

les Mersennes Mn
Mn = 2^(k30)+P - 1 ; pour P = 1,7,11,13,17,19,23,29.
et bien entendu (k30)+P doit être premier.
-----

[invite35452583]

divise tous les en effet :
De même divise , par contre ne divise pas nécessairement pas (en fait leur pgcd= si je ne m'abuse pas) .
Vérifions pour 19,
ona dans (Z/19Z)*,
2, 2²=4, 2^3=8, 16, 13, 7, 14, 9, 18=-1 donc 2 est d'ordre 18 dans (Z/19Z)* donc est congru à dans (Z/19Z)* donc est congru à 10 dans (Z/19Z)* 19 ne divise pas .
Et si je ne me suis pas trompé sur le pgcd il en est de même des autres premiers cités dans la même "catégorie".

Cordialement

[leg]

bonjour homotopie
merci pour tes infos, mais tu dis que 2³⁰-1 divise 2¹²⁰-1 ok j'en était convaincu mais ce qui m'interresse c'est la natures des facteurs P
si effectivement 2⁹⁰-1 ne divise pas 2¹²⁰-1 cela sous entend que tous les facteurs p de 2⁹⁰-1 ne sont pas présents. mais on retrouve tous les facteurs de 2³⁰-1 et ce de 2⁶⁰-1 .
mais il me faut voir tous les facteurs P de 2¹²⁰-1 afin de voir comment les facteurs P progressent pour ces deux suites
2^{30 + 60}-1 et
2^{60 +60}-1

[leg]

une autre question homotopie :
est ce qu'alors les facteurs P des 2 suites se retrouvent, et donc s'accumulent.

2^{30 + k60}-1 ont pour facteur P > 5 :
7.11.31.151.331.19.73.631.2331 1.18837001. Pn.....Pn+x etc..


2^{60 + k60}-1 ont pour facteur P > 5 :
7.11.31.151.331.13.41.61.1321. ..Pn ...Pn+x..etc

[A voir en vidéo sur Futura]

[Gwyddon]

Bonjour,

Du ménage a été fait dans cette discussion, merci de rester dans le sujet, et pour rappel :

[...]
13. Tout acte de modération est écrit en vert ; dans les autres cas les modérateurs s'expriment à titre personnel. Les critiques ou les commentaires sur la modération doivent être effectués en privé.

Avec politesse pour les critiques et commentaires, c'est encore mieux

Pour la modération,

Gwyddon

[leg]

Bonjour,

Du ménage a été fait dans cette discussion, merci de rester dans le sujet, et pour rappel :



Avec politesse pour les critiques et commentaires, c'est encore mieux

Pour la modération,

Gwyddon

bonjour GWYDDON
est ce que tu ne te trompes pas de sujet ?
ce nouveau sujet vient juste d'être ouvert, et seul Homotopie est intervenu pour me donner une grande partie des réponses.
à moins que ceci soit en prévision et relatif au dernier sujet fermé...?

mon idée c'est: de controler si il y a une relation dans les exposants P qui donne un Mersenne premier
j'ai classé ces exposants P en deux catégories les 3k + 1 et les 3k -1
ce qui me donne 4 familles disjointes par catégotie, dans l'ensemble P(30)
pour P = 1.7.11.13.17.19.23 et 29 . "on remplacera 1, par 31"

les Mersennes Mq font partie des familles 1 et 7 mod.30, en fonction de l'exposant P mod 60

qu'est ce qui fait que Mq est premier?

va t'on vers une infinité .., je pense que oui.

y'a t'il un lien entre les facteurs P des deux suites, sujet de ce fil; et Mq non premier, ou encore avec les facteurs P des entiers 3k donnant 3k+1 et 3k-1 premier P(30)?

est ce que le nombre de facteur P de ces deux suites tends vers l'infinie lorsque l'exposant en fait de même ?

2^{30 + k60}-1 ont pour facteur P > 5 :
7.11.31.151.331.19.73.631.2331 1.18837001. Pn.....Pn+x etc..


2^{60 + k60}-1 ont pour facteur P > 5 :
7.11.31.151.331.13.41.61.1321. ..Pn ...Pn+x..etc

est ce que ces deux suites vont utiliser tous les facteurs premiers ?


voilà pour ces quelques questions ..
merci

[Gwyddon]

Hem... En effet ça peut paraître étonnant comme message mais depuis ta dernière connexion il y avait eu quelques "échanges" ici, que j'ai supprimés car n'ayant rien à voir avec ton sujet

[invite35452583]

si effectivement 2⁹⁰-1 ne divise pas 2¹²⁰-1 cela sous entend que tous les facteurs p de 2⁹⁰-1 ne sont pas présents. mais on retrouve tous les facteurs de 2³⁰-1 et ce de 2⁶⁰-1 .

Je confirme ce que j'ai dit dit avec le pgcd donc un facteur premier de mais qui n'est pas facteur premier de n'est pas facteur de .

2^60+k60-1=2^(k+1)60-1 va "accumuler" tous less premiers, en effet si p est un premier, soit n l'ordre de 2 dans (Z/pZ)*, on a par définition 2ⁿ congru à 1 modulo p, il en est de même de 2ⁿ⁶⁰ ainsi 2^60+(n-1)60-1 contient p comme facteur premier.
2^30+k60-1=2^(2k+1)30-1=2^3.5(2k+1).2-1
ne contient que les premiers pour lesquels 2 est d'ordre un impair, ou 2ximpair. Que ces premiers soient contenus relève du même raisonnement que ci-dessus. Que les autres ne soient jamais présents résultent du fait que leur ordre ne divisera jamais un nombre de la forme 3.5.impair.2 si sa 2-composante est plus grande que 4. Exemple 5 n'est jamais présent 2^30+k60 est congru à (2²x2²⁸)x(2⁶⁰)^k congru à 2²=4 ainsi 2^30+60k-1 est toujours congru à 3 modulo 5, 5 ne divise aucun de ces nombres.

[Médiat]

Bonjour,
Avant toute chose, je dois préciser que je ne suis pas un spécialiste des nombres de Mersenne, il y a peut-être des notations standards que je ne connais pas, mais il y a plusieurs choses que je ne comprends pas dans ton intervention.

j'ai classé ces exposants P en deux catégories les 3k + 1 et les 3k -1 ce qui me donne 4 familles disjointes par catégotie, dans l'ensemble P(30)
pour P = 1.7.11.13.17.19.23 et 29 . "on remplacera 1, par 31"

1) Quelles sont les 4 familles (donc 8 finalement) dont tu parles ?
2) Au début de ton texte P représente un exposant, donc un nombre, tel que 2^P - 1 soit premier, puis tu notes P(30) comme si P était une fonction, que représente cette fonction ?

les Mersennes Mq font partie des familles 1 et 7 mod.30, en fonction de l'exposant P mod 60

3) Que représente q ici par rapport à P.
4) Je suppose que les familles qui apparaissent ici sont deux des 4 (ou 8) familles dont tu parlais
5) Quelle est cette fonction à laquelle tu fais allusion ?

y'a t'il un lien entre les facteurs P des deux suites, sujet de ce fil; et Mq non premier, ou encore avec les facteurs P des entiers 3k donnant 3k+1 et 3k-1 premier P(30)?

6) les suites dont tu parles sont-elles bien 2^{30 + 60k} - 1 et 2^{60 + 60k} - 1 ? Si oui, pourquoi étudier ces suites (qui ne donneront jamais un Mersenne premier) plutôt qu'une autre ?
7) Je ne comprends pas la fin de la phrase

est ce que le nombre de facteur P de ces deux suites tends vers l'infinie lorsque l'exposant en fait de même ?

8) pour moi cette question n'est pas claire, est-ce que tu veux dire que le nombre de facteurs peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut (et la réponse est facile) ou est-ce que tu veux dire que le nombre de facteurs est supérieur à n'importe quel nombre donné dès que k (celui des suites) est assez grand ?

Cordialement

[leg]

bonjour Mediat et homotopie

Bonjour,
Avant toute chose, je dois préciser que je ne suis pas un spécialiste des nombres de Mersenne, il y a peut-être des notations standards que je ne connais pas, mais il y a plusieurs choses que je ne comprends pas dans ton intervention.

1) Quelles sont les 4 familles (donc 8 finalement) dont tu parles ?

Rép:cela fait 8 familles congrue P(30), pour p =1.7.11.13.17.19.23.29
c'est l'ensemble des nombres premiers >5 et leurs multiples: 49, 77..etc, qui représentent 26.666...% des entiers naturels > 0

2) Au début de ton texte P représente un exposant, donc un nombre, tel que
2^P - 1 soit premier, puis tu notes P(30) comme si P était une fonction, que représente cette fonction ?

rep non P n'est pas une fonction P = nombre premier, sauf pour 1 bien sur "c'est pour cela que dans l'agorithme P(30) il est remplacé par 31"


3) Que représente q ici par rapport à P.
rép
Mq = Mersenne premier, P = exposant premier congrue P(30) effectivement l'exposant premier serra ensuite superieur à P(30) donc > 31

4) Je suppose que les familles qui apparaissent ici sont deux des 4 (ou 8) familles dont tu parlais
rép
exact.
5) Quelle est cette fonction à laquelle tu fais allusion ?
rép
tous les nombres de Mersenne se terminent par 1 ou 7 et ils sont congrue 1(30)ou 7(30) si l'exposant est congrue P (60) ou p+30 (60)
ce qui donne:
exposant = 1(60); 7(60)...............23(60).29( 60) donnera Mersenne:
≡ 1 (30) ≡ 7(30) ≡ 7(30) ≡ 1 (30) ≡ 1 (30) ≡ 7 (30) ≡ 7 (30) ≡ 1 (30

exposant = 31(60); 37(60)............53(60).59(60 ) donnerra Mersenne:
≡7 (30) ≡ 1(30) ≡ 1(30) ≡ 7 (30) ≡ 7 (30) ≡ 1 (30) ≡ 1 (30) ≡ 7 (30)

6) les suites dont tu parles sont-elles bien 2^{30 + 60k} - 1 et 2^{60 + 60k} - 1 ? Si oui, pourquoi étudier ces suites (qui ne donneront jamais un Mersenne premier) plutôt qu'une autre ?
rép
1) je suis surpris que ces deux suites accumulent les facteurs premiers lorsque K60 augmente c'est à dire si K tend vers linfinie le nombre de facteurs premiers ferait de même..
2) ces suites vont quand même faire partie de l'exposant premier P auquel il ne faut que rajouter 1, 7,...et 29 et de là Mersenne serra premier ou pas si Mersenne n'est pas premier quel est la nature des facteurs qui vont le décomposer, ..etc, y'a t'il un lien...? etc

7) Je ne comprends pas la fin de la phrase
rép
les exposants P se calssent en deux catégories 3k+1 et 3k-1; dans le tableau ci dessous je remplace 1 par 31, ce qui ne change rient.

Les exposants 3k+1 donnent en majorité des Mq =7(30)
Exposant P :
7(30) donne Mq : 7 ; 7 ;7 ; 31 ; 31 ; 7 ; 31 ; 31
13(30) donne Mq : 31, 7 ; 7 ; 7 ; 7
19(30) donne Mq :7 ; 7 ; 31 ; 31«on peut supposer le prochain M45 =7(30), exposant 19(30).»
31(30) donne Mq : 7 ;31 ; 31 ; 7 ; 7

Les exposants 3k-1 donnent en majorité des Mq =31(30)
Exposant P :
11(30) donne Mq : 31 ; 31 ; 31 ; 31 ; 7
17(30) donne Mq : 31 ; 7 ; 31 ; 31 ; 31
23(30) donne Mq : 31 ; 31 ; 7 ; 31 ; 31
29(30) donne Mq : 31 ; 31 ; 7 ; 31

8) pour moi cette question n'est pas claire, est-ce que tu veux dire que le nombre de facteurs peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut (et la réponse est facile)
rep oui peut tu me dire pourquoi encore que homotopie à répondu.


Cordialement

merci

[leg]

[QUOTE=Médiat;8) pour moi cette question n'est pas claire, est-ce que tu veux dire que le nombre de facteurs peut prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut (et la réponse est facile)
Cordialement[/QUOTE]

re Mediat
à cette question ce que je voulais, c'est : à chaque fois que K augmente de 1, combien de facteurs premiers suplémentaires interviennent: je pense 3 ou 4 maxi 5.
mais surtout, et tu connais la réponse je pense: les fateurs de K-1 se retrouvent,
donc on accumule les facteurs P précédent au nouveau facteurs, des que K augmente de 1 ce qui indiquerait si K =10000 le nombre de facteurs P seraient d'environ 40000 pour ce nombre 2^{60+(10000*60)}-1

la nature de ces facteurs P, vu le départ des deux suite sont il en majorité des facteurs 1 ou 11 mod 30 ?
et connais tu la suite des facteurs P pour 2¹²⁰-1
7.11.13.31.41.61.151.331.1321. ? ? ? ? ? (181 va t'il apparaître ?)

car regarde le début pour la famille 1(30) ("c=composé")
31, 61,c,c,151
famille 11(30)
11, 41, (71.101.141 vont il apparaître dans cette suite ?)

[invite35452583]

à chaque fois que K augmente de 1, combien de facteurs premiers suplémentaires interviennent: je pense 3 ou 4 maxi 5.
mais surtout, et tu connais la réponse je pense: les fateurs de K-1 se retrouvent,
donc on accumule les facteurs P précédent au nouveau facteurs, des que K augmente de 1 ce qui indiquerait si K =10000 le nombre de facteurs P seraient d'environ 40000 pour ce nombre 2^{60+(10000*60)}-1

Non, les facteurs ne s'accumulent pas comme tu le présentes.
pgcd(2^60k-1 ; 2^60(k+1)-1-1)=2⁶⁰-1
en effet 2^60h-1=(2⁶⁰-1)(2^60(h-1)+2^60(h-2)+...+2⁶⁰+1)
pgcd(2^60k-1 ; 2^60(k+1)-1)=(2⁶⁰-1)pgcd(2^60(k-1)+2^60(k-2)+...+2⁶⁰+1 ; 2^60k+2^60(k-1)+...+2⁶⁰+1)
en retranchant le premier au second on obtient
pgcd(2^60(k-1)+2^60(k-2)+...+2⁶⁰+1 ; 2^60k+2^60(k-1)+...+2⁶⁰+1)=pgcd(2^60(k-1)+2^60(k-2)+...+2⁶⁰+1 ; 2^60k)
le 1er est impair, le second une puissance de 2 donc sont premiers entre eux donc ce pgcd est égal à 1.
Finalement pgcd(2^60k-1 ; 2^60(k+1)-1)=2⁶⁰-1
Si tu veux que les facteurs premiers s'accumulent il faut prendre une suite du type 2^k!-1

71.101.141 vont il apparaître dans cette suite ?

71 apparaîtra de manière sûre dès que 70 divise 60k, donc dès que 7 divise k (et non dès que k>=7)
Encore une fois le même raisonnement si 60k=70h alors 2^60k-1=2^70h-1=(2⁷⁰)^h-1 ce qui est congru modulo 71 à (petit théorème de Fermat) 1^h-1=0 donc 71 divise 2^60k-1
Il arrive que cela se produise avant ce théorème nous indique que 7 divise 2⁶-1 mais 7 divise "déjà" 2³-1 (autrement dit 2 est au plus d'ordre 6=7-1 dans (Z/7Z)* mais il est en fait d'ordre 3, qui divise strictement 6).

[leg]

ok homotopie, et donc il en est de même pour la première suite 2^30k -1 avec k impair,

[Médiat]

leg : merci de ta réponse, je crois avoir déjà compris une chose lorsque tu notes P(60) tu veux parler de la congruence de P modulo 30, c'est bien cela ? Si oui, le modulo se note plus généralement avec des crochets, par exemple :

Je garde la même numérotation

1) Alors les 8 familles dont tu parles sont pour

2) Ok
3) je ne comprends toujours pas " P = exposant premier congrue P(30) effectivement l'exposant premier serra ensuite superieur à P(30) donc > 31", si j'ai bien compris cette histoire de modulo, alors P est toujours congru à P modulo 30 ; et puis supérieur à P(30) si je traduis par supérieur à "congru à P modulo 30" cela n'a pas de sens que je comprenne, où me suis-je trompé ?

8) un nombre de la forme 2[exp]30(1+2k)[\exp] - 1 a au moins autant de diviseurs que 30(1+2k), c'est à dire plus que (1+2k), i suffit de prendre (1+2k) = 3[exp]n[\exp] pour avoir au moins n diviseurs

Je verrais les autres questions une fois que les points douteux seront clarifiés

PS : si je te fatigue avec mes questions, tu le dis, je n'insisterai pas

[leg]

tout d'abord merci de ton aide et de tes questions.
pour mes notations pas trés mathématique, c'est par ce que je n'ai pas apris les mathes mais si je comprends les raisonnement je ne comprends pas toujours les formules inscrites.

leg : merci de ta réponse, je crois avoir déjà compris une chose lorsque tu notes P(60) tu veux parler de la congruence de P modulo 30, c'est bien cela ? Si oui, le modulo se note plus généralement avec des crochets, par exemple :

Je garde la même numérotation
rep
c'est exact soit mon nombre premier donc l'exposant et congrue p (60) ou: (P+30) mod 60, ce qui va donc donner un Mq 7 mod 30 ou 1 mod 30 ("on peut remplacer 1 par 31")
mais tous les nombres premiers sont congrue p(30) ,pour p de 1 , 7 ,..à 29

1) Alors les 8 familles dont tu parles sont pour


en définitive jai classé tous les nombres premiers dans ces 8 familles avec leurs multiples, qui sont donc tous congrue P[30] et ces 8 premiers P me donnent dans lalgorithme P[30], 8 groupes multiplicatifs pour extraire tous les nombres premiers > 5
ce qui à pour avantage de ne travailler que dans 26.66...% des entiers naturel puisque l'on à éliminé les nombres pairs, les multiple de 3 et de 5 !
2) Ok
3) je ne comprends toujours pas " P = exposant premier congrue P(30) effectivement l'exposant premier serra ensuite superieur à P(30) donc > 31", si j'ai bien compris cette histoire de modulo, alors P est toujours congru à P modulo 30 ; et puis supérieur à P(30) si je traduis par supérieur à "congru à P modulo 30" cela n'a pas de sens que je comprenne, où me suis-je trompé ? non 'c'est moi
rep
tu as raisons je me suis mal exprimé les exposants sont premiers P ok, au départ il sont égaux à 7, 13, 17,19, et 31 ensuite ils sont superieur, mais effectivement toujours congrue P[30]
("comme tu as pu le remarquer, à la tête des 8 familles de l'ensemble des entiers P[30] il y a un premier P sauf que 1 n'est pas premier, il est neutre dans la multiplication donc il est remplace par 31 pour le fonctionnement de l'agorithme ..etc")

8) un nombre de la forme 2[exp]30(1+2k)[\exp] - 1 a au moins autant de diviseurs que 30(1+2k), c'est à dire plus que (1+2k), i suffit de prendre (1+2k) = 3[exp]n[\exp] pour avoir au moins n diviseurs
rep
pour cette question ce que je pensais c'est que j'allais toujours acummuler les facteurs premiers, mais en gardant les facteurs précédents lorsque K60 augmente; ce qu'homotopie m'à bien infirmé donc ces deux suites effectivement ne me servent pas pour trouver "une relation" dans les exopsants P des Mq

pour l'instant ce que je trouve, c'est qu'en fonction des exposants P des Mq, il y a "une certaine régularité"
exemple prenons les exposants 17[30] donnant Mq il y en à 5
17 et de la forme 3K -1 pour être clair 3k = 18; tous ces exopsants P de cette famille 17 [30] seront de cette forme.

quel facteurs premiers interviennent dans la décomposition de 3K?
17+1 , =3,3,2 et Mq ≡ 31[30]
107 + 1, = 3ⁿ et 2ⁿ et Mq ≡ 7[30] et 107 ≡ 47[60]
19937 +1 = 3 et 2 bien sur, et P= 3323 ≡ 23[30] et Mq ≡ 31[30]
3021377+1 = 3,2, et P= 503563 ≡ 13[30] et Mq≡31[30]
32582657+1=3,2 et P =5430443 ≡ 23[30] et Mq≡31[30]
majorité d'exposants ≡17[60] donc de Mq ≡31[30]
voila pour cet exmple
en regle générale dans la décomposition de 3k concernant les exposants P donnant des Mq, on trouve directement des nombre premiers apres 2 et 3, mais surtout des facteur P de la famille 7[30];
sauf pour les exposants de la famille 17[30]

Je verrais les autres questions une fois que les points douteux seront clarifiés

PS : si je te fatigue avec mes questions, tu le dis, je n'insisterai pas

à bientôt

[invite35452583]

Je ne comprends toujours pas très bien où tu veux arriver mais ceci peut t'aider :

Quelqu'un aurait il la bonté de me confirmer ou me donner les facteurs Premiers P de 2¹²⁰ - 1

2¹²⁰=1 329227 995784 915872 903807 060280 344575 = 3 ^ 2 x 5 ^ 2 x 7 x 11 x 13 x
17 x 31 x 41 x 61 x 151 x 241 x 331 x 1321 x 61681 x 4562 284561
Ceci a été obtenu grace au "décomposeur" trouvé sur ce site : Factorization using the Elliptic Curve Method (que je vais m'empresser de mettre aussi à mes favoris).

ok homotopie, et donc il en est de même pour la première suite 2^30k -1 avec k impair,

Pas tout à fait, 5 ne t'intéresse pas mais 17 est un autre exemple de nombre premier qui n'est facteur d'aucun de ces nombres. En effet, 2⁸-1=255=3x5x17 et 2-1=15 n'est pas divisble par 17 donc 2 est d'ordre 8 dans (Z/17Z)*. 8 ne divise jamais 30k si k est impair donc 2^30k-1 n'est pas divisble par 17 si k est impair.

Sinon on a aussi, je ne sais pas si ça peut te servir :
2^12=8^4=4^2=16 modulo 60
16^2=16 modulo 60
2^(12k)^-1, et donc 2^(60k')-1, sont toujours congrus à 15 modulo 60.
2^6 est congru à 4
4^(impair)=16^trucx4=16x4=4 modulo 60
2^(6ximpair)-1, et donc 2^(30ximpair)-1, sont donc toujours congrus à 3 modulo 60.

[leg]

Les nombres P étant de la forme 3k +1 ou 3k – 1 il est intéressant de constater, qu’en fonction de cette forme les exposants de ces nombres de Mersenne Mq, sont majoritairement égaux à 31[30] ou 7 [30].
Cette forme 3k +1 concerne les 4 familles : 7, 13 , 19, 31 modulo 30
Les 3k – 1 concerne les 4 familles 11,17,23, 29 [30]

Les exposants 3k+1 donnent en majorité des Mq =7[30]
Exposant P : et les facteurs P >3 et 5, qui interviennent dans la décomposition de 3k :

Famille 7(30) donne Mq : 7 ; 7 ;……7 ;……31 ;…. 31 ; ….. 7 ; ... ...31 ; ...... 31
facteur P……………….....0;… 7 ; .11[30] ; 7[30] ; 13[30] ;7[30] ; 7et 23[30] ;7 et 13 [30]

13[30] donne Mq : ..31,…… 7 ;……… 7 ;………. 7 ;……… 7
facteur P :…………0……7[30] ;…7 et 11[30] ;..7[30]….17[30]

19[30] donne Mq :….7 ;…….. 7 ;……… 31 ;……….. 31
facteur P :………… .0 ;….11[30]…….7[30] ;……7 et 11[30]
«on peut supposer le prochain M45 =7(30), exposant 19(30). »

31[30] donne Mq :…..7 ;……..31 ;……… 31 ;…….. 7 ;…………. 7
facteur P :………….0 ;………19 ;………31[30] ;…7[30] ;….7et23[30]


Les exposants 3k-1 donnent en majorité des Mq =31(30)
Exposant P :
11[30] donne Mq :… 31 ;……. 31 ;……. 31 ; ……..31 ;………….. 7
facteur P :………..3*29 ;……. 7[30] ;…17[30] ;…7et11[30] ;….13et31[30]

17[30] donne Mq : ….31 ;……. 7 ;…….. 31 ;…….. 31 ;…………. 31
facteur P :……………...0 ;..……..0 ;..….23[30] ;….13[30] ;……..23[30]

23[30] donne Mq : …31 ;……. 31 ;……. ..7 ;………. 31 ;………… 31 .
facteur P :…………19[30] ;..7et29[30] ;..17[30]….19[30] ;….19[30]

29[30] donne Mq :….. 31 ; ……..31 ;………. 7 ; ………..31
facteur P :……………......0 ;……17*19 ;…..7*17*53 ;…..7*7[30]

on note dans ce tableau le fréquence des facteur de la famille 7[30], qui interviennent dans la décomposition de 3K, où 3K+1 ou-1 est un exposant P donnant Mq
je mettrai le prochain tableau dans l'ordre des Mq, de M4, à M44.

[leg]

pour Mediat, excuse moi de ne pas avoir rectifier () par [] mais (30)veut bien dire modulo 30 dans ce post
explication: M4 à M44,le deuxième nombre.est l'exposant premier;puis (31) ou (7), veut dire que Mn nombre de Mersenne est congrue 7 ou 31 mod 30

De M44, à M4 ; tableau des exposants par famille P(30) dans l’ordre

.7(30)…... 11(30)....13(30)…17(30)....19( 30)…….23(30)..….29(30).….31(30 )


………………………………M.44.32582657. Mq = 31(30)
M43.30402457..(31)……………………………… ………………………………………………………
……M42..25964951..(7)
………………M41..24036583..(7)
……………………………………………………………………………… ……… .M40..20996011..(7)
M39..13466917..(31)
…………………………………………………………………M38.. 6972593..(31)
………………………………M37..3021377..(31)
…….M36..2976221..(31)
……………………………………………………………………………… .M35..1398269..(31)
M34..1257787..(7)
……………………………………………………………………M33. .859433..(31)
……………………………………………………………………………… …M32..756839..(7)
……………………………………………………………………………… …………… M31..216091..(7)
………………………………………… …M30..132049..(31)
………………M29..110503..(7)
……………………………………………………………………M28. .86243..(7)
M27..44497..(31)
…………………………………………… M26..23209..(31)
……M25..21701..(31)
……….……………………….M24..19937..(31)
……………………………………………………………………M23. .11213..(31)
…….M22..9941..(31)
……………………………………………………………………………… ……… M21..9689..(31)
……………….M20..4423..(7)
………………………………………………………………………M19 ..4253..(31)
M18..3217..(31)
……………………………………………………………………………… ……………… …M17..2281..(31)
………………M16..2203..(7)
…………………………………………… M15..1279..(7)
M14..607..(7)
……M13..521..(31)
M12..127..(7)
…….……………………………M11..107..(7)
……………………………………………………………………………… …………M10..89..(31)
……………………………………………………………………………… …………………… …M9..61..(31)
……………………………………………………………………………… ……………………… M8..31..(7)
…………………………………………………M7..19..(7)
………………………………………M6..17..(31)
…………………M5..13..(31)
M4..7..(7)

on peut constater que la famille 19[30]est en déficite ou en retard, ainsi que l'apparition des Mq ne se fait à une exeption prés jamais avec deux exposants de la même famille consécutivement.

[Médiat]

Leg : je n'ai pas trop le temps en ce moment, mais je regarderai dimanche.

[leg]

Merci homotopie pour tes réponses et pour le lien que je n'avais pas .
mais comme je l'ai dit effectivement, ces deux suites ne peuvent rient m'apporter dans une relation, que je cherche peut être à tort sur les exposant P des Mq
mais sans tes réponses j'aurai perdu du temps inutilement..

[leg]

re homotopie
ce qu'il y a de marrant dans ces deux suites, si on pousse tres loing la valeur de k je me demandai si j'allai faire apparaître tous les nombres premiers..

au départ je pensai retrouver les fateurs premiers de 3k comme je l'ai indiqué dans les tableau ci dessus dans ces deux suites, pour une valeur de 30k correspondant à la taille de l'exposant, ce qui n'est pas le cas !
exemple pour l'exposant 1279 = 19[30]
1278 à pour facteur 71
est ce qu'il y avait 71 dans ces deux suites non! bon l'exemple n'est pas trés bon car 1279 -19 =1260 est trops petit mais de toutes les façons il n'y a aucune relation à trouver la dedans.

[Médiat]

Je commence à comprendre un peu
Pour me simplifier la vie je note M(n) le nombre Mⁿ - 1

Tu remarques que les Nombre de Mersenne premiers se termine par 1 ou 7 (sauf M(2) = 2²-1).
Cela se démontre aisément en étudiant les congruences modulo 4 :
: n est un multiple de 4 donc M(n) n'est pas premier (le cas particulier n = 0 donne 0 qui n'est pas premier)
: n est un multiple de 2 donc M(n) n'est pas premier (le cas particulier n = 2 donne 3 qui est le premier nombre de Mersenne)
: n est de la forme n = 4k + 1 :
Le cas particulier n = 1 donne 1


On peut démontrer facilement (je te laisse faire) que

et donc

finalement


De la même façon
: n est de la forme n = 4k + 3 :


et donc

finalement


Ensuite tu étudies la congruence de n modulo 30 (tu peux nous expliquer ce choix ?), par la suite je ne tiens plus compte des cas particulier (n = 0, 1 ou 2)
Les possibles sont évidemment 0, 1, 2, ... 27, 28, 29
on élimine 0 sinon n est un multiple de 30
on élimine 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,2 4,26,28 sinon n est un multiple de 2
on élimine 3,9,15,21,27 sinon n est un multiple de 3
on élimine 5,25 sinon n est un multiple de 5

il reste donc 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 dont on peut remarquer que
1, 7, 13 et 19 sont congrus à 1 modulo 3
11, 17, 23 et 29 sont congrus à 2 modulo 3 ()
Il ne peut évidemment pas en avoir de congru à 0 modulo 3.

Par la suite tu classifies les n tels que M(n) est premier en fonction de la congruence modulo 30, pour être un peu cohérent il ne faut pas étudier les nombres de Mersenne de à , mais de à , puisque l'on ne sait pas s'il en existe d'autres entre et .

La répartition est donc la suivante

1 --> 4
7 --> 7
13 --> 4
19 --> 4
Total première famille --> 19
11 --> 4
17 --> 4
23 --> 5
29 --> 4
Total deuxième famille --> 17

Ce qui veut dire que la famille 19 n'est pas en retard, c'est plutôt la famille 7 qui est en avance, et encore, à mon humble avis, pas de façon significative.

[Médiat]

Je viens de me relire

Pour me simplifier la vie je note M(n) le nombre Mⁿ - 1

Il faut, évidemment lire : je note M(n) le nombre 2ⁿ - 1, et je précise que M_n représente le n-ième nombre de Mersenne premier

[leg]

Je viens de me relire Il faut, évidemment lire : je note M(n) le nombre 2ⁿ - 1, et je précise que M_n représente le n-ième nombre de Mersenne premier

tout à fait d'accord avec tes deux post.

donc pourquoi ce choix:

tu as pu constater qu'en travaillant dans les nombres premiers je peux tout faire à partir de ces 8 familles, nombres premiers : de Fermat catalan Mersenne, premiers jumeaux..etc
seul handicap personne n'a étudié cet algorithme , et donc aucune constante n'à été calculé ou trouvé dans cet ensemble congru P[30], de ce fait on ne peut pas en calculer la densité ou la répartition ni même faire une approche sur l'infinité de ces nombres premiers dans cet ensemble

même en supposant l' HRgénéralisé vraie, on aurra qu'une estimation sur la densité des nombres premiers.

le fonctionnement de l'algorithme ne fait appel qu'aux 8 premiers de ces 8 familles, c'est à dire le même groupe multiplicatif, quelque soit la famille dont je veux extraire les nombre premiers ou pour la factorisation des multiples de cette famille.

lorsque l'on regarde comment se répartissent les Mersennes ou les P jumeaux la première idée qui vient c'est d'en supposer l'infinité
chaquelle famille à une infinité de premiers si dans une des famille il y en avait un nombre fini alors il y aurait un nombre de premiers fini ,ce qui n'est pas possible car démontré.

pourquoi les Mersennes de la série 19[30] sont en retard:
tout simplement qu'en regardant la courbe de progréssion des Mq, il n'y a pas autant d'écart entre deux Mq de la même famille et le dernier est M31 soit 13 d'écart, puis la série 29

on remarque aussi que deux Mq n'apparaissent jamais consécutivement dans la même famille
pour la série 7 qui est la plus nombreuse en Mq je pense que cela est lié aux facteurs premiers >= 7 qui décomposent 3k , de l'exposant n ,de Mq
c'est pour cela que j'ai mis le tableau.

et bien sur il était aussi évident pour moi, que pour démontrer que Mq se termine par 1 ou 7 c'était tout simplement la terminaison de 2^k qui se termine par 2.4.6.8 d'où 6 -1 = 5, multiple de 5 ; 4-1 = 3, multiple de 3
et donc 1 et 7 sont des nombres de l'ensemble P[30] c'est à dire la famille des premiers congru 7[30] ou 1[30] disons 31[30]

****************************** **************************
la question que tu risques de me demander: peut on tout faire dans cet Ensemble P[30] sur la recherche de la répartition des nombre premiers, sans passer par l'ensemble des entiers naturel ? je conjecture que oui .
donc on peut ne travailler que dans 26,666.....6 des entiers naturel que représente la famille des nombres premiers > 5. et même dans une seul famille P[30] par exemple, pour l'infinité des premiers jumeaux, la famille 23[30] et suffisante.

faite un rapide calcul sur le nombre de premier pour 10ⁿ dans cet ensemble P[30], jusqu'à n = 20 ou 21
ce qui va donner : N = 26,266,2666,26666....etc

N................... Pi (n)............. n /Pi (n)
10................. 4................... 2,5
100............... 25................. 4,0
1 000............ 168................ 6,0
10 000........... 1 229............ 8,1
100 000........... 9 592........... 10,4
1 000 000......... 78 498.......... 12,7
10 000 000....... 664 579......... 15,0
dans tous les entiers il est facile de remarquer que la différence entre chaque valeur de la colonne: n /Pi (n) tend vers 2,3....... la constente de .....

mais qu'en est il dans l'ensemble P[30] ?

différence D entre les Qotients
Q2 – Q1 = D1 =0,18181818181….. Q20 – Q19 = D19 = 0.614375..

D2 = 0,43030303.. ; D3 = 0,562430174…. ; D4 =0,606343388… ;D5 = 0,616340717..
D6 = 0,615346965.. ; D7 = 0,615880296… ;D8 = 0,615974108…;D9 = 0,615692711..
D10= 0,615419658.. ;D11= 0,615157280.. .; D12 = 0,614963028..;D13 = 0,614814491..
D14= 0,614697906.. ;D15 = 0,614605014.. ;D16 = 0,614530063.. ;D17 =0,614468728...
D18=0,614417892.. ; D19 = 0,614375290327….

le contraire, la différence chute , on pourrait en déduire qu'à une certaine distance la différence D = 0 ce qui voudrait dire que le nombre de premiers
pi(n) serait superieur à la puissance précédente et de là:
le nombre de premiers est oscillatoire par rapport à zéro lorsque n tend vers l'infini....entre autre...hypothèse..
mais, c'est un autre sujet ...
c'est aussi la raison qui me fait choisir l'ensemble P[30]
****************************** ***************************

[leg]

une autre réponse aussi à ta question c'est le cycle des différences, tu as du remarquer, que ce cycle à l'infinie, est en partant de 1: 6.4.2.4.2.4.6.2 ce qui fait une somme de 30.
le modulo 210 ne marche pas dans l'algorithme ni aucun autre, pour extraire tous les Premiers par famille est dans l'ordre croissant .
et l'origine de ce crible vient des triplets pythagoriciens, le triplet 3,4 et 5 pour la petite histoire.

[leg]

entre M39 et M44 je suis au courant
si je supposait qu'il en existe 1 ou 2 j'irai quand même dans les séries 19 et 29
par contre ils se répartissent trés bien dans les 8 familles et c'est dommage qu'ils y en aient pas assez pour voir si ils suivent "un certain ordre à peu prés régulier"

[Médiat]

Une première remarque (qui est un reproche ), il me semble que tu te disperses un peu trop (Mersenne, Catalan, Jumeaux, Nombres premiers, cela fait beaucoup).

tu as pu constater qu'en travaillant dans les nombres premiers je peux tout faire à partir de ces 8 familles, nombres premiers

Dans la mesure ou les autres valeurs donnent des nombres non premiers, c'est assez raisonnable, mais pas très riche, on aurait un résultat du même genre avec toutes les congruences.

chaquelle famille à une infinité de premiers si dans une des famille il y en avait un nombre fini alors il y aurait un nombre de premiers fini ,ce qui n'est pas possible car démontré.

Ce n'est pas parce que l'une des familles serait finie qu'elles le seraient toutes, il me semble donc que ta conclusion est hâtive.

pourquoi les Mersennes de la série 19[30] sont en retard:

Si on s'arrête à 39, ils ne sont pas en retard.

on remarque aussi que deux Mq n'apparaissent jamais consécutivement dans la même famille

Sauf M₈ et M₉ qui sont tous les deux congrus à 1 modulo 30.

pour la série 7 qui est la plus nombreuse en Mq je pense que cela est lié aux facteurs premiers >= 7 qui décomposent 3k , de l'exposant n ,de Mq

Pourrais-tu être plus explicite, je ne comprends pas ce point.

c'est pour cela que j'ai mis le tableau.

Je n'ai rien compris à tes tableaux qui ne sont pas bien alignés, pourrais-tu les recommencer sous excel par exemple et les copier ici sous forme de fichier joint (en csv afin que tout le monde puisse les exploiter sous un tableur), en expliquant bien le sens de tes colonnes.

6 -1 = 5, multiple de 5 ; 4-1 = 3, multiple de 3

Si un nombre se termine par 5 il est divisible par 5, c'est exact, mais s'il se termine par 3 cela ne donne aucune indication sur sa divisibilité par 3.

dans tous les entiers il est facile de remarquer que la différence entre chaque valeur de la colonne: n /Pi (n) tend vers 2,3....... la constente de .....

Il s'agit de 2,3025850929940456840179914546 844..., c'est à dire ln(10), ceci se démontre très facilement grace à la formule :

[...]D19 = 0,614375290327….

le contraire, la différence chute , on pourrait en déduire qu'à une certaine distance la différence D = 0 ce qui voudrait dire que le nombre de premiers
pi(n) serait superieur à la puissance précédente et de là:
le nombre de premiers est oscillatoire par rapport à zéro lorsque n tend vers l'infini....entre autre...hypothèse..

Hum, tu étudies 8/30 des nombres en ayant supprimé que des nombres non premiers, et en faisant le même calcul que pour tous les nombres tu trouves 8/30 du résultat précédent :

il me semble qu'un petit calcul très simple te démontreras ce résultat, ce qui invalide ta conjecture (désolé).

[leg]

Une première remarque (qui est un reproche ), il me semble que tu te disperses un peu trop (Mersenne, Catalan, Jumeaux, Nombres premiers, cela fait beaucoup).
pas du tout, c'etait juste pour dire que dans ces 8 familles on y retrouve tous ces nombres.

Ce n'est pas parce que l'une des familles serait finie qu'elles le seraient toutes, il me semble donc que ta conclusion est hâtive.
rép
ma conclusion n'est pas du tout hâtive ..c'est démontrable.
De plus les dernières estimations sur la recherche de l'infinité des P jumeaux le montre facilement, il ne resterait alors que les familles 7 et 23 soit . Mais alors si il ne reste plus 16 de différence entre deux premiers de ces 2 familles alors le nombre de premiers jumeaux des familles jumelles est fini !

Si on s'arrête à 39, ils ne sont pas en retard. vu comme cela ok

Sauf M₈ et M₉ qui sont tous les deux congrus à 1 modulo 30.
rép
alors attendons de retrouver le même cas au fur et à mesure que l'exposant augmente.....c'est pas demain la veille..

Pourrais-tu être plus explicite, je ne comprends pas ce point.
rép

Famille 7(30) donne Mq : 7 ;….. 7 ;……7 ;……31 ;…. ...31 ; …... 7 ; …..; 31 ;

facteur P………………. 0 ;7 ;.11[30] ;.7[30] ;.13[30] ;7[30] ; 7et 23[30] ;

la première ligne sont les Mq congrue 7 ou 31 [30]

ayant pour exposant P la famille 7[30] la deuxième ligne.

7 , 127 ; 607 ;3217 ; 44497; 1257787; 13466917
il sont de la forme 3k +1 factorisons 3k pour regarder les facteurs P > 5 qui interviennent , c'est à dire les familles .
cela donne pour:
6 : 0.........................Mq = 7 mod 30
126 : 7(30)................Mq = 7
606 : 11(30)...............Mq = 7
3216: 7(30)................Mq =31
44496: 13(30)............Mq =31
1257786: 7(30)...........Mq = 7
13466916: 7 et 23(30) ..Mq = 31

Je n'ai rien compris à tes tableaux :

c'est un fichier word si tu veux je peux te l'envoyer par mp avec ton adresse mail, car je n'arrive pas à les joindre en fichier.

Si un nombre se termine par 5 il est divisible par 5, c'est exact, mais s'il se termine par 3 cela ne donne aucune indication sur sa divisibilité par 3.
rep
là tu me taquine car dans l'algo ou dans la famille des nombres premiers P [30], c'est 13 ou 23 donc 2ⁿ se terminant par 4, et en enlevant 1 c'est un multiple de 3 et non de 13 ou 23 mod 30 et encore moins un premier d'une de ces deux famille.
lorsque cela se termine par 8 ou 2 si j'enleve 1 je ne vai pas voir si c'est 11 ou 17 mod 30 c'est évident qu'il s'agit des familles 1 et 7 mod 30

Il s'agit de 2,3025850929940456840179914546 844..., c'est à dire ln(10), ceci se démontre très facilement grace à la formule :




Hum, tu étudies 8/30 des nombres en ayant supprimé que des nombres non premiers, et en faisant le même calcul que pour tous les nombres tu trouves 8/30 du résultat précédent :

il me semble qu'un petit calcul très simple te démontreras ce résultat, ce qui invalide ta conjecture (désolé).
rép
tu as l'air bien sur de toi en supposant qu'un petit rapide calcul , invalide cette conjecture, ce qui voudrait dire que la table des différence tend vers 0,61402269.... et ne descendra jamais en dessous de cette différence par exemple 0,613.....
j'aimerai en avoir la preuve ..... mais si c'est le cas, alors bravo car cette constante permetrai de calculer directement une densité de nombre premiers uniquement dans cet ensemble
autre exemple ; peut on, dans cet ensemble utiliser la fonction de Möbius afin de calculer le nombre d'entiers congru P[30) qui ont un facteur répété ??
n * (1 – 6 /pi² ),exemple pour 100 entiers naturel le résultat est 39,207... soit 40 entiers environ
en sachant que pour 100 entiers naturel il y a 100/3,75 entiers = P[30] ???

je ne pense pas que cela soit aussi simple ..mais il est évident que c'est possible.

[Médiat]

tu as l'air bien sur de toi en supposant qu'un petit rapide calcul , invalide cette conjecture, ce qui voudrait dire que la table des différence tend vers 0,61402269.... et ne descendra jamais en dessous de cette différence par exemple 0,613.....
j'aimerai en avoir la preuve

Je te conseille de faire la démonstration toi même, elle prend 1 ligne.

Si tu avais choisi d'étudier les nombres vis à vis de leur congruence modulo 210 (2.3.5.7), il y aurait eu 48/210 de nombres à étudier (tous les autres étant non premiers) au lieu de 8/30, et le rapport en question aurait été de

[leg]

Je te conseille de faire la démonstration toi même, elle prend 1 ligne.

Si tu avais choisi d'étudier les nombres vis à vis de leur congruence modulo 210 (2.3.5.7), il y aurait eu 48/210 de nombres à étudier (tous les autres étant non premiers) au lieu de 8/30, et le rapport en question aurait été de

pour la démo je pense que tes compétences ne sont pas à être mis en doute de ma part;
mais on n'est peut être pas sur la même longueur d'onde;

le modulo 210 ne m'apporte rien pour lalgorithme car je ne peut pas l'utiliser sinon jaurai dans un groupe multiplicatif avec des nombres composés ce qui fausserait l'algo P(210)
ceci dit, si effectivement la même estimation de la formule que tu m'à indiqué donne le même résultat en nombre premier pour 26666 entier P(30) alors effectivement si la démonstration indique que cette différence ne serra jamais inferieur à 0.61402, quand bien même elle oscillerait légèrement, donc le nombre de premiers oscillera aussi, mais de façon trés légère mais pas autant que je le supposait, c'est exact.