Bonjour,
J'ai un dm de maths à rendre dans lequel je suis bloqué à une question:
Pour le moment, on s'intéresse aux solutions de y''-qy=0 ou q est une fonction continue de IR dans IR et à valeurs positives.
J'ai déjà montre que si f est solution' alors f^2 est convexe (c'est une simple vérification) et de plus, sur un intervalle ou f est de signe constant, elle est convexe si elle est positive et concave si elle est négative. J'ai aussi montre que la seule solution bornée de cette équation est la fonction nulle.
On s'intéresse maintenant aux solutions f1 et f2 vérifiant f1(0)=1, f1'(0)=0 et f2(0)=0, f2'(0)=1
J'ai réussi à montrer que sur IR, f1 est supérieure à 1 ( il s'agissait d'exploiter la convexité de f1^2 pour en déduire celle de f1)
Puis j'ai montre que f2 est positive sur IR+ et négative sur IR- et enfin que sur IR+ on a f2(x)>=x et sur IR- on a f2(x)<=x par le même genre de technique
Il est maintenant demande de montrer que f1/f2 est strictement décroissante sur IR+* et sur IR-*, et la franchement je sèche, j'ai eu beau regarder la dérivée, et comment se propageaient les inégalités de convexité je n'ai vraiment rien trouvé de concluant, c'est peut être tout bête, mais ça veut pas venir, quelqu'un pourrait il m'aider s'il vous plaît?
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