Bonsoir,
Je voudrais démontrer qu'un sous-espace vectoriel F de R3 est stable par un endomorphisme h si et seulement si h(F) = F.
J'ai choisi de commencer par l'implication (F stable par h) => h(F) = F.
Si je ne me trompe pas, F stable par h signifie que pour tout vecteur de F l'image de ce vecteur par h est aussi dans F, et donc que h(F) est inclus dans F. Mais à partir de là je suis bloquée...
Quelqu'un pourrait-il m'aider ? Merci beaucoup
Bonjour, je pense qu'il y a une erreur dans ce que tu cherches à démontrer, en effet, si on suit ta définition de la stabilité, tout endomorphisme de E dans E stabilise E puisque si f est un endomorphisme de E dans E, alors Im f =f(E) est inclus dans E. Cela veut donc dire que tout endomorphisme de E dans E vérifie f(E)=E donc tout endomorphisme est surjectif, et donc en dimension finie, bijectif, ce qui n'est pas le cas...
Par contre l'équivalence que tu essayes de montrer semblé vrai si au lieu de supposer simplement que c'est un endomorphisme, tu suppose que c'est un automorphisme, ie un endomorphisme bijectif... Après ça resté peut être vrai dans le cas général (hors dimension finie) si on suppose l'endomorphisme bijectif voire seulement surjectif, mais ça reste à vérifier, ce qui est sur c'est que ça ne peut pas être vrai si on. Ne suppose pas au moins la surjectivité
Bonjour,
Je n'y avais pas fait attention, mais dans mon énoncé h est bien un endomorphisme bijectif. Désolée pour cet oubli
