Série d'une famille de complexes

[Oggy75]

Bonjour à tous,
je fais un exercice sur les séries et je suis bloqué,

On considère une famille de complexes (u_n,p) indéxée par N².
On suppose que pour tout n, (u_n,p) possède une limite notée v_n quand p tend vers l'infini
Et il existe une série convergente de terme général a_n tel que :
pour tous n,p , |u_n,p| =< a_n

J'ai montre que la série de terme général u_n,p (indice de sommation n) et la série de terme général v_n
convergaient.

Je dois montrer que la limite quand p tend vers l'infini de la somme de la série de terme général u_n,p
est égale à la somme de la série de terme général v_n

Désolé pour la mise en forme,
Merci d'avance pour vos réponses
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[theguitarist]

Salut!

L'idée en fait c'est de montrer que lim(p->+inf) lS(yn)-S(un,p)l=0 (S représente la somme infinie indexée sur n)
Mais pour ça tu sais que la série de TG (an) est convergente (absolument puisque an>0) donc son reste tend vers zéro! Reviens à la définition de la limite, et sépare la somme de limite que tu veux calculer en deux!

En gros faut travailler avec des epsilon! Faut juste pas perdre de vue que comme on est pas sensé inverser limite et somme infinie, on se débrouille pour travailler avec des sommes finies!

Je sais pas si je suis hyper clair, enfin tu me dis!

Quentin

[Oggy75]

Je m'essaye à latex pour rendre l'énoncé plus clair :

Les hypothèses sont :




Et il faut montrer que :

[Oggy75]

soit

on veut montrer qu'il existe p tel que :
||

Je n'ai pas bien compris comment travailler avec l'indice p et l'indice du haut de la somme en meme temps,
et que veux tu faire avec les restes ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Oggy75]

je viens de comprendre
on majore le reste de la série en définissant un indice n
puis on majore la somme partielle en utilisant cet indice et lim u_n,p = v_n
Finalement, en bricolant on obtient bien la majoration totale par

Merci, tu m'as bien aider,
j'ai une deuxieme question qui est censée etre une application du resultat precedent

Soit une série de nombres complexes absolument convergente.
Soit,
Il faut montrer que converge et calculer sa somme.

Je ne vois pas du tout comment appliquer le résultat précédent

[Oggy75]

J'ai fait une coquille c'est


et c'est 2^(n-k)

[Oggy75]

Personne n'a une petite idée pour m'aider ?

[theguitarist]

Salut!
Désolé je réponds avec beaucoup de retard, tu as sans doute eu la correction ailleurs mais bon...
La série de TG (Uk) converge absolument. De même la série de TG 2^(-k) converge absolument (série géométrique positive).
Tu as vu les produits de Cauchy? Parce que pour le coup c'est exactement l'objet de cette question! Si tu les as vus l'exercice est fini, sinon, la démonstration est un peu plus technique.

Quentin