Notions de topologie

[inviteea028771]

donc c'est quoi qui est faux dans ce que j ai fait : "or ||x-y||_1 < r" ?
Si c'est ca je vois pas comment faire puisque je ne peux rien dire d'autre sur que

Mais justement, ici tout ce que tu sais sur y, c'est qu'il est dans la boule Binfini(x,r/n)

Et toi tu veux montrer qu'il est aussi dans la boule B1(x,r).

Donc tu sais juste que :
(1)

Et tu veux montrer que

(2)

Et tu as que :
(1) est équivalent à
(2) est équivalent à

Montre donc que (1) implique (2)
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[invite204ee98d]

on a

[invite204ee98d]

Et je peux déduire quoi en rapport avec les ouverts et fermés ?

[inviteea028771]

on a

C'est le "coeur" de la preuve, mais il faut que tu arrives à bien comprendre comment tout s'articule.


Déjà l'idée générale pour montrer que A est inclus dans B, c'est de montrer que quelque soit le point de A, ce point est aussi dans B

Donc on prend un point de A, et on regarde ce que signifie "être dans A"
Puis on regarde ce que l'on veut obtenir "être dans B" et ce que ca signifie

Et on cherche à passer de l'un à l'autre.

Ici ,
y dans A signifie
y dans B signifie

Donc si on veut montrer que "être dans A" implique "être dans B", il faut montrer que


Et alors, comme tout point de A est dans B, A est (inclu) dans B

Ce que je viens de dire, ça n'est pas la rédaction, mais le cheminement que tu dois suivre dans ta tête.

[invite204ee98d]

En relisant mon cours ce que je peux dire c'est que et sont des parties ouvertes

[invite76543456789]

C'est vrai, mais ca ne resulte pas de ce que tu viens de prouver (edit: en fait en relisant je vois que si cela résulte de tes deux inéglités), et ton assertion est plus subtile qu'il n'y parait, puisque la notion d'ouverture fait reference à une norme, tu peux etre ouvert pour une norme et pas pour une autre, il est facile de voir que la boule ouverte pour la norme infini est ouverte pour la norme infini, et de meme la boule ouvert en norme 1 est ouverte pour la norme 1, et plus generalement si tu prend une norme N, alors une obule ouverte pour la norme N, est ouverte pour la norme N (c'est bien pensé hein! ).
Ici il est aussi vrai que B_1 est ouverte pour la norme infini et B_\infty est ouverte pour le norme 1.

[invite204ee98d]

Donc les ouverts sont les memes pour les normes 1 et infinie, et on peut aussi montrer que les ouverts sont les memes pour la norme deux et infinie...

[invite76543456789]

Oui, c'est vrai.
On peut meme montrer que si tu prends deux normes sur un R-espace vectoriel normé de dimension finie, alors elles auront les meme ouverts, mais la démonstration est plus conceptuelle.