Notions de topologie

[dalfred]

Bonsoir,

L'exo qui suit me rappelle un exo que j'avais fait sur les espaces normés mais dans lequel il y avait un détail que je n'avais pas compris.
Je dois montrer l'inclusion des boules ouvertes : (r le rayon)

J'avais vu comme inégalité sur les normes (j'avais du la démontrer) :

donc pour là, est-ce suffisant : Soit (x,y) dans , on a alors or d'où donc et

Si c'est cela, ok, mais je n'arrive pas à me persuadé que est forcément dans

Merci de dire si c'est juste ou pas, et de m'expliquer sur ce que j'hésite, au revoir.
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[Tryss]

En topologie c'est assez important de préciser de quel espace tu parles. Ici par exemple ton N, c'est quoi? La norme infinie, c'est la norme infinie sur quel espace? La norme 1 c'est la norme 1 de quel type d'objet?

Bref, passons.


Mais bon, le plus simple ici c'est de montrer que pour tout élément y, la norme infinie est plus petite que la norme 1, ce qui est évident lorsque l'on écrit proprement les définitions de ces deux normes

Donc ensuite en écrivant proprement ce qu'est une boule de centre x et de rayon r, le résultat suit naturellement

[dalfred]

"Le plus simple est de prouver que la norme infinie est plus petite que la norme 1"
Ceci découle de l'inégalité non ?
Et pour la suite, n'est-ce pas ce que j'ai écrit ?
(sauf que je ne suis pas sure de la fin)

[Tryss]

"Le plus simple est de prouver que la norme infinie est plus petite que la norme 1"
Ceci découle de l'inégalité non ?
Et pour la suite, n'est-ce pas ce que j'ai écrit ?
(sauf que je ne suis pas sure de la fin)

Sauf que vu que tu ne précise pas dans quel espace tu travailles ni ce qu'est N, difficile de le dire.

Et tu appelle deux choses x : dans (x,y), c'est un nombre (tu travaillerai donc dans R²) alors que dans B(x,r), x est un élément de l'espace.

Pour rédiger ça proprement (en considérant qu'on est dans R^n):

Soit y appartenant à , c'est à dire , alors, par définition de la norme :


Or


Donc


C'est à dire

Ainsi


En conclusion,


La rédaction est fondamentale en maths, ici j'ai bien insisté pour mettre en évidences les "étapes" du raisonnement et surtout d'expliciter les notions "nouvelles" : qu'est ce qu'une boule, la définition des normes...

[A voir en vidéo sur Futura]

[dalfred]

Merci mais vous vous etes trompé dans la conclusion c'est le contraire

[Amanuensis]

Juste une erreur de frappe, c'est le raisonnement qui est la substance. Si on suit le raisonnement, on sait corriger la typo.

[dalfred]

non en fait il a pas fait d erreur

[dalfred]

C'est juste qu'au début je devais montrer et que si je fais le meme raisonnement il y a un soucis :

puisque là on a pas


(A chaque fois le symbole infini n'apparait pas ca met tt le temps , je ne comprends pas)

[Amanuensis]

non en fait il a pas fait d erreur

Ah ? ( => ) => ?

[Amanuensis]

Le %20 pose problème : remplacer par \,



simplifiable:

[dalfred]

Vous dites que la conclusion n'est pas mais

Pourtant on a pas

[Amanuensis]

Pourtant on a

Donc , ce qui est la structure de la démonstration de Tryss

[dalfred]

Je ne comprends pas, la démo de tryss nous amène à quelle conclusion.

inclue dans ?

[Amanuensis]

Selon vous,



ou

[dalfred]

B inclue dans a

[Amanuensis]

Prenez A = {1} et B={1,2}

[dalfred]

dans votre cas c est A dans B mais si je prends le contraire soit A=1;2 et B=1 c'est B qui est inclus dans A, cet exemple ne m'aide pas

[dalfred]

Donc à priori dans mon cas vous dites qu on a B 1 inclue dans B infinie, mais c'est pas logique puisqu'on a la norme infinie(x-y) < ou égale à norme un
Logiquement ca devrait etre le contraire non
C est ca que je comprends pas

[invite76543456789]

Bonjour,
Reflechis 30 secondes, les points situés a moins de 3 cm d'un objets sont situés à moins de 4cm de cet objet.
Les points situés à moins de 4cm d'un objet sont situés à moins de 3cm de cet objet.
Quelle phrase te parait juste la dedans?

[dalfred]

ben la première

[dalfred]

je sais ou vous voulez en venir sauf que pour moi, je le repete une nouvelle fois

veut dire

[Tryss]

je sais ou vous voulez en venir sauf que pour moi, je le repete une nouvelle fois

veut dire

Non, cette inégalité veut dire que pour un point x-y, la norme infinie est plus petite que la norme 1
C'est à dire que tout les points qui sont dans la boule B_1(x,r) sont aussi dans la boule B_infini(x,r)
C'est à dire que B_1(x,r) est inclus dans B_infini(x,r)

[invite76543456789]

Ben non.
Je vois mal comment detailler plus ce qu'ont dit les autres participants.
Si tu prend un y tel que la norme 1 de x-y soit plus petite que r, alors la norme infini de x-y est plus petite que la norme 1 de x-y, et donc la norme infini de x-y est plus petite que r, donc y est dans la boule de centre x et de rayon r pour la norme infini.
Autrement dit tout y dans la boule de centre x et de rayon 1 pour la norme 1 est dans la boule de centre x et de rayon r pour la norme infini.

[dalfred]

Désolé mais je suis toujours pas d'accord, moi j'écrirai plutot pour reprendre ce qu'a dit tryss:

Si la norme infinie est plus petite que la norme 1, ca me semble evident de dire que la boule infinie est incluse dans la boule 1. Au pire c'est pas grave, je l'admets, je vais pas vous déranger plus avec ca

[invite76543456789]

Mais enfin y a rien à admettre, c'est une trivialité.
si tout x de A est dans B, alors A est inclus dans B, c'est la définition.

Pour revenir à ta boule, tu peux voir la chose comme ca. Comme la norme infini est plus petite que la norme 1, alors un vecteur vu dans la norme infini est plus petit que vu en norme 1, donc s'il est dans une boule de rayon r, en norme 1, alors il sera dans un boule plus petite en norme infini, par conséquent tout les points de la boule de norme 1 de rayon r, sont dans la boule de rayon r pour la norme infini.
Passer de la norme 1 à la norme infini retercit la taille des vecteurs, si tu ne change pas la taille de ton sac (ta boule de rayon r) tu pourras mettre plus de vecteur en norme infini qu'en 1.

[dalfred]

Du coup si je veux montrer que
je suppose que la rédaction suivante est incorrecte :

Soit, donc

d'où or

d où

donc

et

[Tryss]

Sauf que l'on ne voit pas bien d'où sort le

"or ||x-y||_1 < r"

D'une part, ça n'est pas un "or", sinon tu suppose la conclusion, mais un "donc"
D'autre part, il faut expliciter un minimum (même si ça n'est pas compliqué)

[dalfred]

se traduit par vous l'aviez vous meme écrit comme cela dans votre démonstration

[Tryss]

Oui, mais justement, c'est le résultat que l'on veut obtenir.

A priori, tu ne sais pas si ton y est dans la boule B1(x,r), c'est ce que tu cherches à montrer !

[dalfred]

donc c'est quoi qui est faux dans ce que j ai fait : "or ||x-y||_1 < r" ?
Si c'est ca je vois pas comment faire puisque je ne peux rien dire d'autre sur que