equa. diff. et systeme dynamique

invite6997af78 · 17/03/2013, 14h38

Salut,

j'ai un petit probleme avec une équa. diff. ...

On considère l'équa. diff. :

$\text{[math]}$

1. Trouver un système d'équa. diff. équivalent et le résoudre avec pour condition initiale $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

2. Donner le systeme dynamique $\text{[math]}$ associé. Tracer les orbites de $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

3 Etudier la stabilité de $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ .

C'est con mais je bloque a la 1...

Pour le systeme equivalent, je pose $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
J'ai donc le systeme $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et condition initiale $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Soit $\text{[math]}$ , la matrice associée :

$\text{[math]}$

(Je veux utiliser la formule $\text{[math]}$ )

La polynome caractéristique de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .
Donc les valeurs propres de $\text{[math]}$ sont $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Et les vecteurs propres associés (dans l'ordre) $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

D'où $\text{[math]}$ et
$\text{[math]}$ .

Et la, en appliquant la formule $\text{[math]}$ , je trouve
$\text{[math]}$

Ce qui est faux puisque $\text{[math]}$ .

Ma question : où est-ce que j'ai faux ? (normalement, y'a pas d'erreurs de recopiage...)

Merci.

**Seirios** · 17/03/2013, 14h52

Bonjour,

La condition $\text{[math]}$ doit être vérifiée même si tu as mal diagonalisé A (je n'ai pas vérifié les calculs), donc tu as dû te tromper à la dernière étape, en développant $\text{[math]}$ .

invite6997af78 · 17/03/2013, 14h55

Bon, je vais recommencer (encore une fois) ce calcul...

invite6997af78 · 17/03/2013, 15h54

Oui, donc, j'ai bien fait des erreurs de calculs (3 parenthèses, deux signes et j'ai meme oublié un terme dans une matrice)...

Mais c'est toujours pas ca : j'ai un facteur $\text{[math]}$ dont j'arrive a me débarrasser...

$\text{[math]}$

En plus, cela me parait bien compliqué pour la suite : tracer les orbites de [...].

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 17/03/2013, 16h06

Avec tes données, je trouve $\text{[math]}$ , ce qui donne bien $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 17/03/2013, 16h09

Ma première ligne de calcul est : $\text{[math]}$ . As-tu la même chose ?

invite6997af78 · 17/03/2013, 16h12

Voila pourquoi j'aime pas le calcul matriciel...

Si cela te genes pas, je vais continuer avec ton résultat !
Sinon, as-tu utilisé des simplifications particulières ?

Merci.

invite6997af78 · 17/03/2013, 16h15

Envoyé par Seirios

Ma première ligne de calcul est : $\text{[math]}$ . As-tu la même chose ?

Mon erreur est là : pourquoi A et A^-1 ?

**Seirios** · 17/03/2013, 16h32

C'est bien P qu'il faut utiliser, et non A, je me suis trompé de matrice... Je refais les calculs.

**Seirios** · 17/03/2013, 16h43

Je trouve finalement $\text{[math]}$ .

**Seirios** · 17/03/2013, 16h50

En tout, j'ai vérifié tes calculs précédents, et ils sont corrects.

invite6997af78 · 17/03/2013, 16h57

Envoyé par Seirios

Je trouve finalement $\text{[math]}$ .

Bon, j'ai recommencé et j'ai pas toujours pas comme toi... Tant pis, je continue.

Pour la 2, le systeme dynamique c'est S de RxR² dans R² qui a (t ; x) associe exp(tA)x.

Mais ca c'est le cours... En pratique on prend quoi ? La fonction x (trouvée a la question précedente) sans le t_0 ?

**Seirios** · 17/03/2013, 19h03

Je n'ai jamais utilisé l'expression "système dynamique" dans un sens réellement précis, donc je ne saurais te dire...

equa. diff. et systeme dynamique

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