Bonjour,
Si on se donne une application infiniement differentiable de R^n dans R^m, disons f, on peut associer à cette application un morphisme d'algèbre dedans
donnée par
, ceci défini une fleche de
(ou le Hom est l'ensemble des applications differentiables) dans
.
Il est facile de prouver que cette fleche est injective.
Est elle surjective? Je pense que non, mais je n'arrive pas à voir pourquoi.
Merci.
tu considères tous les moprphismes de R-algèbre ou bien ceux qui sont continus?
Je considère tous les morphismes. Mais effectivement c'est peut etre trop optimiste.
En fait j'ai pas de topologie naturelle sur C^\infty de R^n. On peut eventuellement y mettre la topologie de la limiteoù la limite est prise sur tous les ouverts relativement compacts, qui serait la plus naturelle... si on ne prend que les morphismes continus (pour une topologie ad hoc), tu as une réponse? (incidement ca répondrait presque à ma question, resterait à exhiber un morphisme non continu).
je sais pas, je me disais que le morphisme phi -> phi ° f doit être continu, en un sens à préciser, et du coup comme il y a des morphismes discontinus, ta flèche ne serait pas surjective.
Je vais y reflechir, mais ca me semble une reformulation de la meme question en fait, parce que gloablement, ce qu'on va dire, c'est qu'on va munir l'ensemble des moprhismes d'algèbres d'une topologie minimale qui rende les morphisme phi donne phi rond f continu (ce sera grosso modo une topologie de convergence simple), mais je doute qu'on aura une description tres agreable de cette topologie, et la question d'exhiber une morphisme discontinu sera alors plus ou moins de la meme difficulté à mon avis... je vais y reflechir.
Au passage je sais que le resultat est vrai si on remplace R^n et R^m, par des variétés compactes.
des pistes ici : http://math.stackexchange.com/questi...ch-is-not-cont
