Question Simple de Géometrie

[invitec50eba02]

Bonjour,

dans un octogone régulier ABCDEFGH on connait la longueur des côtés(AB=BC=CD etc...) .
quelle est la formule pour trouver la longueur AE (diametre du cercle dans lequel ce trouve cet octogone) ainsi que la longueur AF.

Merci par Avance pour vos réponses.
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[invitef591ed4b]

En notant O le centre du cercle et en utilisant le théorème de Pythagore généralisé aux triangles quelconques, tu peux calculer facilement le rayon r du cercle.

En effet, tu considères le triangle AOB. Tu connais la longueur |AB| ainsi que l'angle AÔB (qui vaut 360/8=45°). Par le théorème de Pythagore généralisé, tu as :

|AB|² = 2r² (1 - cos AÔB)

Où r=|AO|=|BO|=... est le rayon du cercle. En isolant r, tu as :

r = |AB| / racine de (2 - 2 cos AÔB)

Et bien sûr, le diamètre |AE| vaut 2r. Ensuite, pour connaître la longueur |AF|, tu peux te rappeler que n'importe quel triangle inscrit à un cercle, dont un des côtés est le diamètre, est un triangle droit. C'est le cas pour le triangle AEF, où l'angle AÊF est droit. Tu peux alors utiliser le théorème de Pythagore classique :

|AF|² = |AE|² - |FE|²

Et tu peux alors calculer |AF|.

[shokin]

Par exemple :

Considère un neuvième point O, qui est le centre de l'octogone régulier (intersection des apothèmes, des axes de symétrie...).

Considère maintenant un triangle formé par trois sommets dont deux sommets consécutifs de l'octogone régulier et par O.

Connaissant la mesure des trois angles de ce triangle ainsi que la longueur d'un de ses côtés, tu connais alors la longueur des deux autres côtés (les rayons).

Maintenant que tu connais le rayon, tu es capable de trouver toutes les mesures des triangles formés par deux sommets quelconques de l'octogone régulier et par O. [Et même par trois sommets quelconques du polygone.]

Théorème du cosinus aidant.

Shokin

[invited6139184]

Et bien il me semble qu'il suffit de calculer les côtés d'un triangle ABC, avec angle ABC=45°, angle BCA=67,5°, angle BAC=67,5°, sachant que le côté AC est connu, et que les côtés AB et BC sont égaux et sont le rayon du cercle cherché.

C'est pas la solution complète, mais c'est un bon début. Non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

Et bien il me semble qu'il suffit de calculer les côtés d'un triangle ABC, avec angle ABC=45°, angle BCA=67,5°, angle BAC=67,5°, sachant que le côté AC est connu, et que les côtés AB et BC sont égaux et sont le rayon du cercle cherché.

C'est pas la solution complète, mais c'est un bon début. Non?

Précise que B est le centre du cercle et du polygone régulier, sinon ça risque de comprendre que B est un sommet.

C'est un bon début en effet.

Shokin

[invitec50eba02]

Merci a Tous pour ses Réponses Simples et Rapides