Bonjour.
Dans un exercice je suis amené à montrer que la décroissance de la suite n -> Un=na(e1/n-1)b pour n>0 et a,b des réels tels que 1>= b-a > 0.
J'ai du mal à le démontrer. J'ai écrit que Un+1/Un ~ (n/n+1)b-a pour n tendant vers l'infini.
Or (n/n+1)b-a < 1 pour tout n>0 donc la suite est décroissante.
Je doute fortement de ma démonstration. En fait je pense que j'ai écrit ça plus par dépit que par conviction !quelqu'un aurait il une solution ?
Merci d'avance.
Bonjour.
Si tu utilises un équivalent (pour n tendant vers l'infini), tu ne traites que le cas "n suffisamment grand".
Par contre, je ne vois pas d'idée évidente.
Cordialement.
NB : C'est faux pour a=-4 et b=-3.5.
Dernière modification par gg0 ; 18/03/2013 à 15h15.
Bonjour,
Sauf erreur, on a:
Si b>0, U(n) et V(n)=(U(n))^{1/b} varient dans le m\^eme sens car la fonction x^(1/b) est croissante sur les réels strictement positifs. On a V(n)=f(1/n) avec f(x)=(exp(x)-1)/x^{a/b}. Il suffit alors de montrer que f est croissante sur les réels strictement positifs, par une étude de fonctions (deux dérivations doivent suffire). Comme les fonctions x^{m-a/b} m entier au moins 1 sont toutes croissantes car mb-a>0, on peut aussi utiliser le développement en série de l'exponentielle pour démontrer que f est croissante.
Pour b<0, il y a le contre-exemple de gg0.
Cordialement.
