Une redondance dans la définition d'un homémorphisme ?

[inviteeac53e14]

Salut à tous!

J'ai trouvé la définition d'un homéomorphisme dans un bouquin de sup(Analyse Mp de J.M Monnier) :
"Soit X partie d'un K-evn E et Y partie d'un K-evn F;
on dit qu'une application f de X vers F est un homéomorphisme ssi :
- f est continue(sur X)
-f est bijective
-f^-1 est continue (sur Y)"


Ma question est : une application continue bijective n'admet-elle pas nécessairement une réciproque continue ?
Si je me trompe, pouvez-vous me donner l'exemple d'une bijection continue dont la réciproque est discontinue.
Si j'ai raison à quoi sert le troisième tiret dans la définition (ou le premier ou le second bref il y en a un qui ne servirait à rien quoi) ?

Merci d'avance d'accepter de m'éclairer.
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[invite6b1e2c2e]

Ma question est : une application continue bijective n'admet-elle pas nécessairement une réciproque continue ?
Si je me trompe, pouvez-vous me donner l'exemple d'une bijection continue dont la réciproque est discontinue.

Soit E= \mathb{R}^2, et X = (0,\infty)*[0,2 pi [.
f l'application qui à (r, t) dans X associe r* exp(it).
C'est bijectif sur Y= C\{0}, mais pourtant l'application réciproque n'est pas continue sur ]0,\infty[.

__
rvz

[invitec314d025]

Il faut aussi noter que même si en Sup on se place sur des espaces vectoriels normés, ce n'est pas nécessaire pour définir un homéomorphisme.
La notion prend tout son sens sur des espaces topologiques (dont les ev normés sont un cas particulier). Un homéomorphisme envoie les ouverts d'un espace sur l'autre (et pareil pour les fermés). C'est une sorte d'isomorphisme topologique.

[inviteeac53e14]

Soit E= \mathb{R}^2, et X = (0,\infty)*[0,2 pi [.
f l'application qui à (r, t) dans X associe r* exp(it).
C'est bijectif sur Y= C\{0}, mais pourtant l'application réciproque n'est pas continue sur ]0,\infty[.

__
rvz

C'est bijectif d'accord. Mais est-ce que c'est aussi continu ? (je demande car je ne comprends pas tout ce que tu as écris, il y a eu un problème avec latex) Mon problème n'est pas la bijection mais la bijection continue...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteab2b41c6]

Bonjour,
prend X=[0,1]U[2,3)
Y=[0,2]
alors f définie par
f(x)=x si x est dans [0,1]]
f(x)=4-x sinon

est bijective et continue, de réciproque non continue.
Sa réciproque est g définie sur Y par
g(x)=x si x dans [0,1]
g(x)=4-x sinon

A+

[inviteeac53e14]

Il faut aussi noter que même si en Sup on se place sur des espaces vectoriels normés, ce n'est pas nécessaire pour définir un homéomorphisme.
La notion prend tout son sens sur des espaces topologiques (dont les ev normés sont un cas particulier). Un homéomorphisme envoie les ouverts d'un espace sur l'autre (et pareil pour les fermés). C'est une sorte d'isomorphisme topologique.

Oui effectivement. En lisant un bouquin une fois (encyclopédie des mathématiques en poche), il me semblait avoir compris que s'il existe un isomorphisme entre deux "objets" topologiques alors on dit qu'ils sont topologiquement équivalents (ou homéomorphes). Je ne suis sûrement pas très rigoureux dans ce que j'écris parce que je ne maîtrise pas encore le sconcepts de topo (en dehors du programme de spé le seul truc dont j'ai entendu parlé en rapport avec la topo est la conjecture de poincaré).

[inviteab2b41c6]

La conjecture de poincaré n'est pas triviale à comprendre, alors sans base de topo ca ne doit pas être du gateau. C'est plus de la topologie algébrique (mais de la topologie quand même).

Sinon on peut te trouver des exemples tous plus évident les un que les autres, de fonctions continues bijectives et à réciproques non continues, mais sont sur des espaces pas nécessairement triviaux à appréhender.
Je te conseil donc de revoir mon exemple qui lui, est dans R.
A noter que si X est compact, alors la 3e condition est superflue.
De même si X est un intervalle réel.
A+

[inviteeac53e14]

A noter que si X est compact, alors la 3e condition est superflue.
De même si X est un intervalle réel.
A+

Ah merci, c'est bien ce que je pensais. Il me semblait évident que la troisième condition devenait superflue si X est un intervalle ou un compact. Je n'ai pas pensé à prendre deux intervalles disjoinsts. Comme ça, c'est beaucoup plus évident.

Merci beaucoup à tous!

[invite986312212]

De même si X est un intervalle réel.
A+

faux: X = [0,1[ Y=S^1 inclus dans R^2
f(x) = (cos(2*pi*x),sin(2*pi*x))
est continue mais l'image de l'ouvert [0,1/2[ n'est pas ouverte dans Y.

[invite6b1e2c2e]

faux: X = [0,1[ Y=S^1 inclus dans R^2
f(x) = (cos(2*pi*x),sin(2*pi*x))
est continue mais l'image de l'ouvert [0,1/2[ n'est pas ouverte dans Y.

Tout à fait, mais il me semble plus simple de dire que la réciproque de f n'est pas continue au point (1,0). Merci d'avoir simplifié l'exemple que j'avais donné, et de mettre les choses au point sur ce sujet. Je n'avais jamais remarqué qu'il n'y avait pas besoin de la condition 3 lorsque X était compact !

__
rvz

[inviteab2b41c6]

Si X est un intervalle réel et que f est réelle alors.

[invitea77054e9]

Salut,

N'a-t-on pas la propriété suivante : "Deux normes n et N sont équivalentes sur un normé E si, et seulement si,
id: (E,n)->(E,N) est un homéomorphisme" ?
Dans ce cas-là, il est aisé de trouver une application bijective continue, de réciproque non continue.

[inviteab2b41c6]

Effectivement, mais c'est le genre de contre exemple que je voulais éviter, parce que ca supposais qu'il n'existais pas de contre exemples pour les fonction réelles de variables réelles.

L'étude des espaces Lp nous fourni également des contres exemples assez intéressants.
Notamment, et c'est une conséquence de ces contre exemples et du théorème de l'inverse de Banach (application ouverte) que si c'était toujours le cas, alors je crois (*) que toute fonction périodique posséderait un développement en série de Fourier qui converge uniformément vers cette première.

(*) Je ne suis pas sur du type de convergence, s'il est simple ou uniforme.
Cependant, on a le résultat vrai dans L^2 comme conséquence du théorème de Parseval
Assez troublant donc ...

A+