Calcul d'angle et de vecteurs

[invite234d9cdb]

Bonsoir !

Dans des petits exercices de révisions, on me demandait de trouver les composantes d'un vecteur de longueur 3, tel que ce vecteur forme un angle de 30° avec le vecteur , en tournant dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.

La résolution est visuelle, le vecteur de composantes (0,3) faisant un angle de 30,96°.

Mais ce petit exercice soulève pour moi un tout autre problème : si la résolution devait être purement mathématique, comment vais-je faire ?

Y a bien les formules du PS et du PV, mais mon soucis concerne le fameux "30° en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre".

Comment allez vous faire parler les formules à notre disposition pour être sûr que l'angle de 30° sera formé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?


PS : comme vous pouvez le voir : j'ai un problème avec LaTex... \overrightarrow est pas reconnu ?
-----

[invite6b1e2c2e]

Peut-être as tu déjà fait des produits vectoriels en dimension 3 ? En fait, le produit vectoriel oriente ton plan dans l'espace, et le munit d'un sens "normalisé". En effet, l'angle dont tu parles n'est direct que parce que tu regardes ton plan par au-dessus. Tu pourrais le regarder par au-dessous ....


__
rvz

[invitec314d025]

Comment allez vous faire parler les formules à notre disposition pour être sûr que l'angle de 30° sera formé dans le sens inverse des aiguilles d'une montre ?

Tu remarqueras que suivant le sens choisi le sinus change de signe, ce qui rejoint la remarque de rvz.

PS : comme vous pouvez le voir : j'ai un problème avec LaTex... \overrightarrow est pas reconnu ?

Tu peux utiliser \vec{} il me semble.

[invite234d9cdb]

La longueur de a est

Donc par produit vectoriel, en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre (pas de le sens inverse hein), je fais donc

On sait que la longeur de est 3, ça donne
Quelle information intéressante ça va me donner ça, à part la longeur du vecteur perpendiculaire au plan ?

Pour le produit scalaire ça va donner
On trouve que

Et la résolution de cette équation nous dit que ce qui est faux vu qu'on a dit qu'on allait dans le sens des aiguilles d'une montre...
Par ailleurs une autre solution serait , cette dernière solution est incompréhensible car le vecteur horizontal ne fait visuellement pas un angle de 30° avec le vecteur a !!!

(C'est quoi ce bordel ?)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b1e2c2e]

Y a une deuxième équation dont tu ne te sers pas, c'est celle donnée par le produit vectoriel !Quand tu as deux inconnues, il te faut 2 équations différentes pour espèrer caractériser les solutions.

Cela dit, pour revenir à ce que j'ai dit hier, il n'y a selon moi qu'une seule définition pour définir "proprement" (je veux dire un tant soit peu intrinsèque) le produit vectoriel, et c'est en dimension3 : C'est le vecteur k, tel que det(u,v,w)=k.w
Je dis ça pour te montrer à quel point le produit vectoriel est un objet tridimensionnel : Ainsi, quand tu te poses des questions sur cet objet en dimension 2, il faut en fait généraliser et considérer les problèmes en dimension 3.

__
rvz

[invite234d9cdb]

Je ne vois toujours pas comment je peux faire communiquer les infos que me donne le produit vectoriel avec le produit scalaire.

Avec mon produit vectoriel, je vais obtenir un vecteur qui sort du plan de la feuille
En quoi cela peut il m'aider a déterminer les composantes v_x et v_y ?

[invite234d9cdb]

En tournant dans le sens des aiguilles d'une montre, je fais donc


Pour le produit scalaire on a
Si on résout, on trouve que : v_y=3

Badaboum c'est toujours le vecteur vertical qui forme un angle de 30° avec et non pas l'autre, que je cherche désespéremment à obtenir...

[invite234d9cdb]

En bleu, le vecteur
En rouge, le vecteur vertical de longueur 3, que j'obtiens systématiquement et que je ne veux pas

En vert le vecteur de longueur 3 qui forme aussi un angle de 30° avec le vecteur a mais qui n'est pas vertical !

Qu'est ce que je dois faire pour obtenir les composantes du vecteur vert et pas celles du rouge ?

[inviteaf1870ed]

Tu peux peut etre essayer avec une construction analogue à celle des triangles de Fresnel :
Tu poses ton premier vecteur a, puis tu le prolonges avec un deuxième qui fait un angle de 30° (pi/6) avec ce prolongement.
Tu connais l'angle A que fait a avec l'axe des ordonnées, donc tu connais l'angle que fait ton nouveau vecteur avec l'axe des ordonnées (A+pi/6) - pourquoi + ? voir ci dessous.
Comme tu connais la longueur de ton vecteur, il ne te reste plus qu'à calculer ses coordonnées en utilisant le cosinus et le sinus de ce nouvel angle.

Pour le sens inverse des aiguilles d'une montre, c'est le sens trigonométrique, il te dit qu'il faut ajouter les 30° et non les retrancher

[invite6b1e2c2e]

Non, c'est juste que tu poses mal ton équation sur le produit vectoriel. Tu veux tourner dans le sens des aiguilles d'une montre ? C'est l'inverse du sens mathématique normal. Donc tu dois considérer que l'angle entre les 2 vecteurs que tu cherches est -30° (angle algébrique) qui lui a un sinus négatif !
Cela vient du fait que le trièdre u, v, u^v (produit vectoriel) est direct.

__
rvz

[invite234d9cdb]

Ca j'avais essayé aussi, en prenant -30°, mais ça n'a pas mieux marché...
En fait j'ai trouvé en faisant autrement... Mais c'est un peu long à expliquer ici, mais ça marche