Décomposition en franctions simples

[invite3be40abf]

Hello,

je ne sais pas venir à bout de ceci:
Décomposer en une somme de fractions simples:

(z 3 –z²+z+1)/(z4+2z²+1)

En général, le début consiste en une division euclidienne si la fraction n'est pas "propre".
Mais dans ce cas-ci, le ° du dénominateur est supérieur à celui du numérateur. Je peux donc me passer de la division euclidienne.

Ensuite, il faut factoriser le dénominateur de manière à réécrire la fraction suivant la multiplicité des racines de celui-ci:

Donc comme je dois factoriser z4+2z²+1 et que je n'ai pas de puissance 3, je me dis que je peux poser y=z²

Je retombe alors sur un polynôme de 2nd degré: y²+2y+1

Avec le 2nd degré, je calcule le radicant P= b²-4ac=0
donc, j'aurai 1 solution= -b/2a= -2/2=-1
J' écris alors mon dénominateur:
(y+1)²

Comme j'avais posé y=z², j'obtiens (z²+1)² et donc (z²+1)(z²+1)


J'égale alors la fraction initiale à la fraction donc le dénominateur est factorisé (et c'est la que je suis très peu sûr de moi):

(z 3 –z²+z+1)/(z4+2z²+1)=(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)


C'est donc ici que je bloque car je n'arrive pas, quand j'égale les facteurs des numérateurs à un système soluble...

Pouvez-vous m'apporter votre aide?

Merci d'avance.
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[invite3be40abf]

Je dois arriver à ceci:

(z-1)/(z²+1)+(2)/((z²+1)²)

[Médiat]

Bonjour,

Je confirme le résultat, mais je ne vois pas de difficulté dans la démonstration, il suffit de réduire au même dénominateur...

[invite3be40abf]

Quand j'essaye de réduire au même dénominateur en appliquant ceci:
(z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1)=(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)

J'ai donc:
(z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1)=(Az³+Az+Bz²+b+Cz³+Cz+Dz²+D)/(z^4+2z²+1)

=>
z^3 –z²+z+1=Az³+Az+Bz²+B+Cz³+Cz+Dz ²+D

Ce qui me conduit au système:

en z³: A+C=1
en z²: B+D=-1
en z: A+C=1
en cst: B+D=1

J'ai donc 3 équations à 4 inconnues. (même equ. en z³ et z)

Il y a un souci certainement ici: (z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1)=(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)
Mais je ne sais pas comment l'écrire autrement...
La factorisation n'est pas bien écrite?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Il y a un souci certainement ici: (z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1)=(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)

Manque un carré, c'est (carré manquant en rouge à la fin)

(z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1)=(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)²

[gg0]

Bonjour.

De façon évidente (addition des fractions de même dénominateur) :
(Az+B)/(z²+1)+(Cz+D)/(z²+1)=((A+C)z+B+D)/(z²+1) qui n'a rien à voir avec (z^3 –z²+z+1)/(z^4+2z²+1).

Il serait bon de revoir la théorie, et, si tu l'as, les explications et preuves.

Cordialement.

[invite3be40abf]

Donc quand je réécris la fraction sur le dénominateur factorisé, je ne peux pas faire ça:
(z²+1)² donc (z²+1)(z²+1)

Je dois réécrire
/(z²+1)(z²+1)²

Je n'ai pas bien compris la règle de théorie qui permet d'écrire correctement la fraction sur le dénominateur factorisé avec les bonnes multiplicités.

[Médiat]

Votre calcul de départ aurait dû être :

[gg0]

Il serait utile aussi de revoir les cours de collège sur l'addition des fractions et la notion de dénominateur commun.