intégrales généralisées: définition

[Minialoe67]

Bonsoir,

On travaille en ce moment en cours sur les intégrales généralisées. Mais j'ai des questions à vous demander:

Quand on dit qu'une fonction n'est pas intégrable, cela signifie forcément qu'elle diverge vers l'infini? (ou bien est-il possible qu'elle ne soit pas intégrable tout simplement parce qu'il n'y a aucune méthode qui marche pour la calculer?) Car parfois, des fonctions sont dites non intégrables, alors qu'il est tout à fait possible de leur trouver une primitive...

Je m'embrouille un peu les pinceaux.

extrait de mon cours: Soit b ∈ R u (-∞,+∞) et f une fonction localement intégrable sur un intervalle semi ouvert, borné ou non [a,b[. On dit que f est intégrable sur [a,b[, ou bien que l'intégrale de f sur [a,b[ converge, si et seulement si la fonction F définie par
F: [a,b[ => R
x => ∫_a^xf(t)dt admet une limité finie à gauche en b.
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[gg0]

Bonjour.

Quand on dit "fonction intégrable" (ou "localement intégrable" comme ici), on parle toujours d'intégrales, pas de primitives. De plus, c'est généralement "intégrable sur ..." avec un domaine d'intégration, ce qui montre bien qu'il ne s'agit pas de primitive.
D'ailleurs une fonction peut être intégrable sans avoir de primitives.

Donc relis bien ta définition, en ne prenant pas les mots isolés, mais les groupes verbaux entiers : "f est intégrable sur [a,b[,", "l'intégrale de f sur [a,b[ converge".

Cordialement.

NB : Si f est une fonction numérique, "f est intégrable" veut généralement dire "f est intégrable sur "

[Minialoe67]

Merci pour les explications.
donc par exemple, j'ai vu dans un exercice que l'intégrale de sin(x)/x est convergente mais sin(x)/x n'est pas intégrable.

Cela signifie que son intégrale admet une limite finie mais il n'existe pas de primitive?

(on a prouvé en cours que l'intégrale sur R+ de sin(x)/x appartient aux intégrales qui convergent) (critère d'abel)

[gg0]

Bonsoir.

sin(x)/x admet, comme toute fonction continue, des primitives sur chacun des intervalles où elle est définie. Comme on ne peut pas les écrire avec les fonctions "simples", on la prolonge par 1 en 0, et on appelle Si sa primitive qui s'annule en 0.

Par contre l'intégrale de Lebesgue de sin(x)/x (même prolongée par continuité en 0) sur n'existe pas. C'est dans ce sens qu'on dit qu'elle n'est pas intégrable. Mais comme je ne sais pas ce que tu as vu en cours, je ne sais pas ce que veut dire "pas intégrable" pour ton cours.

Encore une fois, dans ces contextes, intégrable n'a rien à voir avec les primitives. je crois qu'il faudrait que tu réétudies sérieusement tes cours ...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]