intégrales généralisées

[inviteca2bcb8e]

Bonjour à tous alors voilà demain j'ai un CC d'intégrale qui porte sur les intégrales généralisées et il y en a certaines que je n'arrive pas à résoudre ou dont je ne suis pas sur.

(1) Intégrale de 1 à +00 de 1/(txracine(t^2+1)) ===> attention c'est t fois racine (t^2+1)
Donc pour celle-ci en 1 il n'y a pas de problème et pour en +00 vu que la fonction est positive j'ai dis que c'était équivalent à 1/t^2. De plus l'intégrale de 1à +00 de 1/t^2 converge donc je trouve que l'intégrale converge.

(2) J'ai beaucoup de problème avec les logarithme car je ne sais pas quoi faire en voici un.

Intégrale de 0 à +00 de t ln(t)/(t^2+1)^2.
Donc j'ai séparé l'intégrale en 2. Pour l'intégrale de 1à +00 j'ai dis que c'était équivalent à 1/t^3 t que l'intégrale de 1 à +00 de 1/t^3 converge.
Pour l'intégrale de 0 à 1 bah la je sais pas quoi faire un changement de variable ?? j'ai juste calculer la limite ou je trouve 0. De plus la foncion est négative donc je ne sais pas si je peux en conclure quelquechose.


(3) L'intégrale de 0 à +00 de ln(t) x ln(1+a^2/t^2) ou a>0. Alors j'ai séparé l'intégrale en 2. L'intégrale de 1 à +00 j'ai dis que vu que la fonction était positive alors on peut faire une équivalence et j'ai trouver ln(t)x a^2/t^2. et que l'intégrale de ln(t)x a^2/t^2 de 1 à + 00 converge.
Pour l'intégrale de 0 à 1 une fois encore je ne sais pas comment faire.

Merci de bien vouloir m'aider car je veux vraiment comprendre.
-----

[albanxiii]

Bonjour,

Pour le 2) en zéro, la fonction est prolongeable par continuité en une fonction continue, dont aucun problème d'intégration en zéro.

Pour la 3) en zéro, si je prend ln(t) ln(1+1/t^2) pour simplifier, je trouve que c'est équivalent à -2(ln(t))^2 (à la physicienne...), or on sait qu'une primitive de x-> ln(x) est x ln(x) - x, qui a une limite en zéro. Il faut arranger tout cela proprement en factorisant les termes avec a^2, mais on retombe sur une somme de deux termes en (ln(t))^2. Si toutefois je n'ai pas fait d'erreur (ce qui n'est pas tout à fait gagné vu mon état....).

Bonne journée.

[invite57a1e779]

Intégrale de 0 à +00 de t ln(t)/(t^2+1)^2.
j'ai dis que c'était équivalent à 1/t^3 t

S'il faut comprendre que , c'est visiblement faux : le quotient des soi-disant équivalents tend vers l'infini.

[inviteca2bcb8e]

merci beaucoup pour votre aide je vais voir ce que ça donne mais j'ai compris la démarche. Par contre je ne comprend pas pourquoi tu dis que l'équivalence est fausse car en +00 tln(t)/(t^2+1)^2 tend vers 0 tout comme 1/t^3... A moins que je me trompe...

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Attention.

" tln(t)/(t^2+1)^2 tend vers 0 tout comme 1/t^3... " et tout comme 1/t !!!!
Tu dois appliquer correctement les théorèmes, pas baratiner avec les mots des théorèmes.
Ici, tu n'as pas d'équivalent pratique, puisqu'un équivalent est . Par contre, comme (à toi de voir pourquoi), tu peux conclure par comparaison.

Pour le 3, il te faut démontrer que . Tu peux commencer par montrer que leur différence tend vers 0, donc est négligeable devant chacun d'eux (ils tendent vers l'infini). Tu aboutiras à la méthode de Alban.

Cordialement.

[inviteca2bcb8e]

ah ok je viens de comprendre. Merci beaucoup beaucoup si j'ai d'autre question je viendrais les postés. Sinon vraiment merci à vous tous.

[albanxiii]

Re,

Ou alors, on peut aussi écrire et comme on a , qui doit permettre de conclure (sinon, pousser le développement limité à un ordre au dessus).

Bonne soirée.

[inviteca2bcb8e]

finalement j'ai réussi en faisant comme cela:

ln(1+a^2/t^2)=ln((t^2+a^2)/t^2))=ln(t^2+a^2)-ln(t^2) donc que c'est équivalent à -ln(t^2) qui converge de 0 à 1. Dites moi ce que vous en pensez mais je pense que c'est bon comme ca..