Petit problème amusant

[Seirios]

Bonjour à tous,

Voici un exercice que j'ai trouvé intéressant (surtout concernant la méthode de résolution) : Soit un entier strictement positif. Montrer qu'il existe une puissance de dont l'écriture décimale commence par (en lisant l'écriture décimale de gauche à droite).

L'exercice doit être résoluble par un élève de première année.

N'oubliez pas de mettre vos propositions sous spoiler pour ne pas gâcher le plaisir d'autres personnes.

Seirios
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[breukin]

Je suppose qu'il faut lire : "Montrer qu'il existe une puissance de 2 dont l'écriture décimale commence par l'écriture décimale de m" ?

[Seirios]

Oui, bien sûr.

[invite14e03d2a]

Salut,

je ne sais pas pour les autres, mais si je ne reponds pas, ce n'est pas parce que le sujet est ininteressant mais que je seche completement. Un indice (en spoiler)?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Il est difficile de donner un indice sans trop dévoiler la solution. J'essaie tout de même avec cette indication :

 Cliquez pour afficher

Penser au logarithme.

[CM63]

Bonjour,

Je suppose qu'on parle de puissance entière de 2. Et dans ce cas je ne comprends pas : aucune puissance entière de 2 ne commence par 7.

Bonne journée.

[invite03f2c9c5]

Je suppose qu'on parle de puissance entière de 2. Et dans ce cas je ne comprends pas : aucune puissance entière de 2 ne commence par 7.

[invitef3414c56]

Bonjour,

Je fais une tentative....

Cordialement.

 Cliquez pour afficher

a) log(5) et log(2) sont Q-linéairement indépendants, donc Z log 5+Z Log 2 est dense dans R.

b) Je choisis a>0 tel que m(\exp(a)-1)<1.

c) Par densité, il existe k, h dans Z tels que k Log(5)-hLog(2) soit dans l'intervalle ]-log(m)-a, -log(m)[.

d) Un ennui est que on pourrait ne pas avoir k positif. On résout ceci en disant qu'il existe une suite k_j log(5)-h_jlog(2) qui tend vers 0 (k_j, h_j dans \Z), avec k_j tendant vers l'infini (donc dans N). En l'ajoutant au k log(5)-hlog(2) précédent pour j grand, on voit que l'on peut supposer que k est dans N, et grand, de sorte que h est dans N aussi.
e) On pose log(m)+klog(5)-hlog(2)=-b, avec b dans ]0,a[. On a m5^k=2^h \exp(-b)=2^h+(\exp(-b)-1)2^h
Donc
2^h=m5^k+(1-\exp(-b))2^h=m5^k+x. Le x est un entier , et on a 0\leq x=(1-\exp(-b))2^h\leq m(\exp(b)-1)5^k<5^k par le choix de a.

f) On multiplie par 2^k: 2^{h+k}=m10^k+2^kx=m 10^k+y, avec 0\leq y<10^k. Donc l'écriture en base 10 de 2^{h+k} commence par l'écriture de m en base 10

[Seirios]

Je ne pense pas avoir vu d'erreur ; c'est également l'idée de la solution que j'avais

[CM63]

Bonjour,

Autant pour moi, milles excuses.
Bonne journée