Espace vectorielle - question pratique

[invite159cf21f]

Bonjour(soir) à tous et à toutes.


Je suis au beau milieu d'un problème sur les espaces vectorielles et je bloque sur une question depuis un bon bout de temps.

Je ne vais pas vous demandez de résoudre mon problème, loin de là, en fait j'aimerais plutôt être fixer sur quelque chose, ce qui me permettrais de conclure ce problème (et beaucoup d'autres)


Lorsqu'il s'agit de trouver la dimension d'un espace vectorielle et une base j'ai toujours le même problème:

ici par exemple, mon espace vectorielle est E, j'ai trouver une famille libre de E, disons (x,y,z),

le seul moyen possible ici serait de prouver que E= vect(x,y,z), ainsi je pourrai conclure que (x,y,z) est génératrice de E, et étant égallement libre, (x,y,z) est une base (ce qui me donne la dimension )

pour ce faire je démontre l'égalité par double inclusion et j'ai réussis à montrer que vect (x,y,z) est inclue dans E

Ma quesion est: puis je conclure et dire directement que E est inclue dans vect (x,y,z) étant donné que x, y et z appartiennent à E ?

Merci d'avance pour vos réponses.
-----

[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) et j'ai réussis à montrer que vect (x,y,z) est inclue dans E

Oui, ... il n'y a rien de particulier à montrer, on a cela tout simplement par définition !

Ma quesion est: puis je conclure et dire directement que E est inclue dans vect (x,y,z) étant donné que x, y et z appartiennent à E ?

Si par exemple, je ne vois pas bien comment une famille de 3 vecteurs pourrait être génératrice de E

Par contre si , puisque comme tu l'as dit est une famille libre, alors est forcément une base.

[PlaneteF]

... Sinon, à part cela, si tu nous donnais la définition de l'ev , on pourrait te donner des réponses plus précises (de ce que je comprends de ton sujet, tu ne connais pas ?!).

[PlaneteF]

Lorsqu'il s'agit de trouver la dimension d'un espace vectorielle et une base j'ai toujours le même problème:

ici par exemple, mon espace vectorielle est E, j'ai trouver une famille libre de E, disons (x,y,z),

le seul moyen possible ici serait de prouver que E= vect(x,y,z), ainsi je pourrai conclure que (x,y,z) est génératrice de E, et étant égallement libre, (x,y,z) est une base (ce qui me donne la dimension )

pour ce faire je démontre l'égalité par double inclusion et j'ai réussis à montrer que vect (x,y,z) est inclue dans E

Ma quesion est: puis je conclure et dire directement que E est inclue dans vect (x,y,z) étant donné que x, y et z appartiennent à E ?

Un petit exemple d'illustration avec , , , , et

Dans ce cas on a bien , , et qui appartiennent à , la famille est bien une famille libre, comme je te l'ai dit plus haut est forcément inclus dans , ceci par définition (vrai quels que soient , , et appartenant à ) ... et pourtant n'est pas inclus dans pour autant !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite159cf21f]

Oui Oui je sais tout cela, simplement ici il faut que je montre que la dimension est 3 et que je donne une base.

Bon je donne la définition de E:

E= { f (R,R) / f trois fois dérivable sur R et pour tout x de R, xf⁽³⁾ (x) - (2x+1)f^''(x) + (x+2)f'(x) - f(x) = 0}

et on sait que (v₁, v₂, v₃) est une famille libre de E avec v₁ = x+2,

v₂= xe^x,

v₃= e^x

Voilà il faut montrer que E est un REV de dimension 3 et préciser une base.

mais oui comme vous me l'avez montrez, je ne peux pas conclure directement mais alors je ne vois vraiment pas comment montrez l'aute inclusion ...

[gg0]

Bonjour.

Il te faut montrer que toute solution f de l'équation différentielle est une combinaison linéaire des trois solutions particulières que tu as trouvé (donc que ta famille est génératrice).
Pour cela tu peux considérer une solution f, choisir les coefficients a, b et c pour que, par exemple, si g=f-(av₁+bv₂+cv₃) alors g(0)=g'(0)=g"(0)=0, puis en déduire que g est la fonction nulle.

Cordialement.

NB : Important : "vectorielle" est féminin, "espace" masculin. Pourquoi écrire à chaque fois 2 lettres de trop qui rendent ta phrase fautive ? Sur un devoir, ça rend le correcteur moins tolérant.