Bonjour,
C'est une remarque dans le forum physique qui m'a fait lancer ce fil.
C'est une question un peu floue, mais j'imagine qu'il n'y a pas de réponse univoque.
Qu'est ce qui fait que la somme directe s'appelle somme, et le produit cartésien produit?*
Et aussi, pourquoi leur a t on donné deux noms*différents*puisque c'est la même chose?
Ce n'est pas exactement la même chose.
Le produit cartésien est une notion ensembliste, et dans les cas finis, le cardinal du produit est le produit des cardinaux, ce qui "appelle" le mot "produit".
La notion de somme directe s'applique aux espaces vectoriels: on part de deux (sous-)espaces vectoriels sur un même corps, et on obtient un nouvel espace vectoriel, la somme directe.
La différence est la structure, et justifie (peut-être) deux noms différents.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
La somme directe se retrouve également avec d'autres structures, les groupes notamment.
À noter que le produit cartérsien diffère de la somme directe lorsqu'il y a une infinité de facteurs : dans une somme directe, on considère que l'ensemble des éléments non nuls est cofini.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Bonjour.
Dans la somme de deux sous-espaces vectoriels, on considère justement les sommes (finies) d'éléments de l'un et de l'autre. Comme c'est l'ensemble de ces sommes, l'appeler somme ne pose pas de problème. Si la somme est directe, de plus les dimensions s'ajoutent !
Cordialement.
Plus généralement, somme et produit se définissent en termes de catégories: https://fr.wikipedia.org/wiki/Somme_...%C3%A9gorie%29 (la page anglaise est mieux écrite). En gros, la somme (si elle existe) de deux objets d'une catégorie est le plus petit objet de la catégorie qui contient les deux objets. Par exemple, la somme de deux espaces vectoriels est le plus petit espace vectoriel qui les contient.
Salut!
Pour completer ce qui a été dit plus haut.
En fait on demande des choses differentes à la somme et au produit, c'est pour cela qu'il y a lieu de les appeler differement.
Se donner une fleche de la somme de deux trucs dans un troisieme truc, c'est se donner une fleche de chacun des trucs dans le troisieme truc.
Se donner une fleche d'un truc de base dans le produit de deux trucs, c'est se donner une fleche du truc de base dans chacun des deux trucs.
C'est pas la meme chose. C'est l'"opposé".
Il y a bien donc lieu d'avoir deux noms differents.
Il se fait que dans certains cas (rares comme les espace vectoriel) c'est la meme chose, mais en general ca n'est pas vrai, la somme de deux ensembles n'est pas le produit de deux ensembles. La somme de deux espaces métriques n'est pas la meme chose que leur produit non plus. Par contre la somme de deux espaces vectoriels est la meme chose que leur produit.
Dernière modification par invite76543456789 ; 04/04/2013 à 15h39.
