Statistiques - Taille de l'échantillon et pièces défectueuses

[invite4b14a867]

Bonjour,

Je suis bloqué sur un exercice en statisques.
Pouvez vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

On aimerait tester si la proportion de pièces défectueuses dans une usine est supérieure ou égale à 1%. Le seuil de signification considéré est de 5%
1) Si l'on ne veut pas courir un risque supérieur à 10% d'accepter un lot comportant 2% ou plus de pièces défectueuses, quelle devrait être la taille de l'échantillon ?
2) Construire la courbe d'efficacité pour n=500

Dans mon cours, je peux exploiter cette formule ("comparaison d'une proportion à une valeur donnée") :
Je pensais comparer la proportion initiale (1%) à la nouvelle (2%)

qui suit une LNCR
n : taille de l'échantillon
P0 : 1%
P : 2%

Comment puis je continuer ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[gg0]

Bonjour.

On ne compare pas 2% à 1% (la réponse est évidente), mais on traite une question à bien comprendre.

Il vaudrait mieux construire un test d'hypothèse basé sur le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. la formule que tu utilises suppose qu'il y a un grand nombre de pièces défectueuses, donc s'il y en a 1%, un nombre 100 fois plus grand de pièces à tester, ce qui fait des milliers !!!
Je ne comprends pas bien ton énoncé, car "tester si la proportion ... est supérieure ou égale à 1%. Le seuil de signification considéré est de 5%" est en contradiction avec "...courir un risque supérieur à 10% d'accepter un lot comportant 2% ou plus de ...".

Donc je reste dans la cadre de la question 1. On utilise le nombre X de pièces défectueuses dans un échantillon de taille n. On va tester "moins de 2% de défectueuses" contre "plus de 2%". Mais pour construire le test, il faut une valeur précise du pourcentage de défectueuses. Comme X augmente avec ce pourcentage, on prendra l'hypothèse la moins favorable : H₀ :"2% de défectueuses" contre H₁ :"plus de 2%".
Sous H₀, X suit une loi simple, qu'on peut même approximer. Je te laisse continuer.

Cordialement.

[invite4b14a867]

Bonjour gg0,

Je vous remercie de vos réponse.

Il vaudrait mieux construire un test d'hypothèse basé sur le nombre de pièces défectueuses dans l'échantillon. la formule que tu utilises suppose qu'il y a un grand nombre de pièces défectueuses, donc s'il y en a 1%, un nombre 100 fois plus grand de pièces à tester, ce qui fait des milliers !!!

Oui, c'est la première question en fait. Il faut construire un test pour une taille de l'échantillon n=500.
La condition d'application est : n*po<5 (ce qui est bon pour moi) (je pense avoir réussi cette question, c'était pour cela que je ne l'ai pas marqué. Veuillez m'excuser pour le quiproquo)

Le vrai énoncé est donc :

On aimerait tester si la proportion de pièces défectueuses dans une usine est supérieure ou égale à 1%. Le seuil de signification considéré est de 5%
1) Construire le test lorsque la taille de l'échantillon est n=500.
2) Si l'on ne veut pas courir un risque supérieur à 10% d'accepter un lot comportant 2% ou plus de pièces défectueuses, quelle devrait être la taille de l'échantillon ?
2) Construire la courbe d'efficacité pour n=500

Je ne comprends pas bien ton énoncé, car "tester si la proportion ... est supérieure ou égale à 1%. Le seuil de signification considéré est de 5%" est en contradiction avec "...courir un risque supérieur à 10% d'accepter un lot comportant 2% ou plus de ...".

Je pense que le seuil de signification correspond à "alpha", au risque de première espèce alors que le 10% correspond au "beta", au risque de second espèce.
C'est pour cela que je cherchais absolument à comparer le 1% à une autre valeur.
Ai je répondu à votre question ?


Est ce nécessaire du coup de faire un nouveau test pour la "question 2" ?

Je reste à votre disposition pour d'autres questions.
Merci

[gg0]

Bonjour.

Si tu ne donnes pas l'énoncé, difficile de t'aider !
Et si tu tiens à utiliser une approximation Normale qui rend flous les calculs, libre à toi. Je reconnais que ça simplifie la question (au prix d'une approximation mal maîtrisée).
Avec un énoncé différent, et une interprétation adéquate, on ne tombe toujours pas pour la question 2 sur un risque de seconde espèce, mais sur un test différent : Dans la question 1 le risque est 5% pour une hypothèse donnée; dans la question 2, le risque est 10% pour une hypothèse différente. On a inversé le sens de l'inégalité.
N'importe comment, le risque de seconde espèce n'est vraiment calculable qu'en connaissant la vraie proportion de défectueux. Si je comprends bien, c'est ce que tu auras à faire ensuite, avec la courbe d'efficacité.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b14a867]

Bonjour,

Effectivement, désolé pour l'énoncé, c'était maladroit.

Dans la question 1 le risque est 5% pour une hypothèse donnée; dans la question 2, le risque est 10% pour une hypothèse différente. On a inversé le sens de l'inégalité.

Sur ce point, j'avais aussi un doute. J'ai donc demandé à mon professeur. Ce dernier m'a bien précisé que l'on prenait pour la question 2), un risque de 5% (alpha=5%).
Justement le 10% doit correspondre à une probabilité et doit avoir un lien avec l'erreur de deuxième espèce. C'est sur cela que j'ai vraiment du mal à comprendre : comment trouver la taille n en exploitant la probabilité de 10% et l'erreur de deuxième espèce.
Mais c'est vrai que c'est encore confus pour moi.

Merci d'avance.

[gg0]

Ok,

je commence à comprendre ce que veut dire cette question : Pour un n donné, on rejette au risque 5% les échantillons comportant au moins p pièces défectueuses. mais on ne rejette pas ceux ayant p-1 pièces défectueuses, et 100(p-1)/n peut très bien dépasser 2 : la proportion de défectueuses, dans un échantillon peut dépasser 2% sans que le lot soit rejeté.
On veut donc n tel qu'au seuil de 5% l'intervalle d'acceptation soit tel que les lots acceptés mais contenant au moins 2% de défectueuses soient au plus 10 % des acceptées.
Si l'intervalle est [0;a_n], et que b = 2/100*n, on veut que [b;an] contienne au plus 10% des acceptées (soit 9,5% des cas).

Je te laisse mathématiser cela.

Désolé d'avoir mis du temps à comprendre, l'énoncé est un peu rapide, et comme je l'avais pris de travers du début ... J'espère que cette fois-ci, je suis sur le bon terrain.

Cordialement.

[invite4b14a867]

Bonjour,

Je te laisse mathématiser cela.

J'ai essayé de traduire la consigne : " Si l'on ne veut pas courir un risque supérieur à 10% d'accepter un lot comportant 2% ou plus de pièces défectueuses, quelle devrait être la taille de l'échantillon ?"
Je pensais partir de : Pr(p>2%)<10% avec p : proportion de pièces défectueuses

Ce qui ne va pas avec ce que vous dîtes :

On veut donc n tel qu'au seuil de 5% l'intervalle d'acceptation soit tel que les lots acceptés mais contenant au moins 2% de défectueuses soient au plus 10 % des acceptées.

Ici, il faudrait plutôt chercher :
Pr(2%<p<10%)

Merci d'avance pour votre aide.

[gg0]

Je ne peux pas expliquer plus, c'est à toi de comprendre. Et c'est ton exercice, c'est à toi de la faire (règlement du forum). Il y a un vrai travail de traduction, plus la modélisation du test pour un échantillon de taille n, à toi de t'y mettre. Relis vraiment l'énoncé et repense à ce qu'a dit ton prof.

Cordialement.