Application des développements limités

[invite811b090a]

Bonsoir j'ai appris à calculer les DL grâces aux formules, mais je bloque actuellement sur un exercice qui consiste à calculer la limite en n->+00 de :

( sin ( n π/2n+1 ) )^n²

Je sais que dans ce cas comme n->+00 on doit poser t=1/n (donc n est dans IN*) ce qui donne après quelques simplifications :

sin ( π / 2(1+t/2) )^(1/t²) d'où la formule du DL de 1/1+u (que j'ai décidé de faire à l'ordre 2) avec u = t/2 et après simplifications et repassage de t à n :

sin ( π/2 - π/4n + π/8n² + o(1/n²) )^n²

et je n'arrive à rien en déduire, à cause du ^n² dont je n'arrive pas à me débarasser, ou à changer.
Si quelqu'un pourrait m'aider, s'il vous plaît !
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[inviteea028771]

Il faut penser à passer en forme exponentielle dès qu'il y a des puissances "variables".

Tu as donc à calculer la limite de

Déjà, on voit maintenant à quel ordre faire le DL : il faut que du ln(sin(...)) sorte "quelque chose" + o(1/n²) (multiplié par n² ca ferra un o(1), donc un reste qui tend vers 0)


Ensuite, pas besoin de poser n=1/t, il suffit de diviser en haut et en bas la fraction par n (ça limite les erreurs):



On trouve alors (pour le DL de la fraction):




Ici, attention, tu t'es trompé dans les signes, pour rappel, 1/(1+u) = 1 + u + u² + u^3 + ... + u^n + o(u^n)


Ensuite, il faut penser à se ramener au cosinus, par cos(x) = sin(x+pi/2), afin d'utiliser un DL usuel en 0 (enfin, c'est plus pratique, ça limite les erreurs)

Tu va alors avoir un DL de la forme 1 + ... + o(1/n^2)

Et finalement, tu fais le DL du log

Et tu te retrouves avec une quelque chose de la forme e^(P(n) + o(1)) , dont la limite est facilement calculable en +oo

[invite811b090a]

D'abord merci d'avoir répondu rapidement.
J'ai compris ce que tu m'as dit au début, mais par contre je suis pas d'accord sur la formule de 1/1+u.
Dans mon cours, et sur internet j'ai vérifié, c'est bien (-1)^n x^n, il y a donc bien une alternance de signes.

Concernant le raisonnement je suis bien parvenu à arriver à

π/2 ( 1 - 1/2n + 1/4n² + o(1/n²) (avec le - !)

Ensuite du sin du cos :

sin ( π/2 + w ) = cos w avec w = - π/4n + π/8n² + o(1/n²)

et ensuite tu as parlé d'un DL usuel en 0... de cos x ? Je sais faire le dl de cos (x), cos(a+b)= cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)... mais y a le o(1/n²) dont je ne sais pas quoi en faire... tu pourrais m'expliquer s'il te plaît

[inviteea028771]

Erf, oui, excuse moi, il est tard, et j'ai juste écrit une grosse bêtise

En fait, j'ai pensé très fort au DL de 1/(1-u) (d’où, forcément, les (-1)^n qui manquent)

et ensuite tu as parlé d'un DL usuel en 0... de cos x ?

Oui. Le DL de cos(x) en 0 c'est cos(x) = 1 - x²/2 +o(x²)

Donc en posant

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite811b090a]

Ouah j'ai jamais vu un petit o aussi gros ! d'accord je vois la fin, merci beaucoup pour ton aide, il est enfin temps d'aller dormir, bye bye