Equation différentielle (4)

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'ai à résoudre l'équation différentielle suivante: y''+9*y=cos(x)+cos(3*x)

la solution de l'équation homogène est: y=C1*cos(3*x)+C2*sin(3*x)

la solution particulière pour y=cos(x) est y=C1*cos(x)+C2*sin(x)
y'=C2*cos(x)-C1*sin(x)
y''=-C1*cos(x)-C2*sin(x)

Il vient:

-C1*cos(x)-C2*sin(x)+9[C1*cos(x)+C2*sin(x)]=cos(x)

8*C1*cos(x)=cos(x) d'oû a=1/8 d'oû y=(1/8)*cos(x)

J'ai effectué un raisonnement similaire pour y=cos(3*x) mais je ne débouche sur aucune solution.Ma question est sous quelle forme je dois
écrire la fonction à identifier pour obtenir ma deuxième solution particulière?

Merci d'avance pour votre aide Cordialement le fouineur
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[invite8ac20103]

Bonjour,

La solutions particuliere peut etre chercher de la forme : Y = A.cos(x) + B.sin(x) + C.cos(3x) + D.sin(3x).

Il y a Très probablement plus intelligent, mais cette methode marche toujours..

[inviteea028771]

Quelque chose de la forme a cos(3x)+b sin(3x)

[le fouineur]

Merci Blead et Tryss pour vos réponses rapides,

J'ai essayé ta forme d'identification Tryss, mais une fois les termes d'identification posés, il s'annulent mutuellement et il ne reste plus que 0 à identifier avec cos(3x).comme la solution est: (1/6)*x*sin(3*x),il faudrait peut-être poser un x en facteur quelque part dans la fonction à identifier.....

Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour Le Fouineur.

Il serait bon que tu trouves un cours sur les équations différentielles linéaires et sur la notion de résonance.
Ici la solution C.cos(3x) + D.sin(3x) est résonnante (c'est déjà une solution de l'équation sans second membre) donc on prend C.x.cos(3x) + D.x.sin(3x).

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

J'arrive trop tard, gg0 a déjà frappé
En physique, on tombe de temps en temps sur ce genre de gag.

@+

[le fouineur]

Bonjour gg0 et albanxiii et merci pour vos réponses rapides,

je vais réessayer avec les fonctions proposées par gg0 et je vous tiendrai au courant si je n'y arrive pas....

Cordialement le fouineur