Bonjour,
Pourriez vous me donner des éléments de réponses pour ceci:
J'ai une suite de fonction définie par:
si
Cette suite de fonction converge simplement vers la fonction
On peut démontrer la convergence uniforme en étudiant le sup de |fn(x)-f(x)| (ce que j'ai réussi a faire)
Mais ma question est la suivante: Peut-on démontrer la convergence uniforme en passant par une majoration uniforme?
Merci d'avance.
Bonsoir.
Que veux-tu dire par "majoration uniforme" ? Le sup n'est est-il pas une ?
Cordialement.
Une majoration uniforme est une majoration qui ne dépend pas de x.
On majore |fn(x)-f(x)| par une suite (Un) qui ne dépend pas de x et qui tend vers 0 ainsi,
on aura quelque soit x, |fn(x)-f(x)|<Un et Un<epsilon pour n assez grand donc |fn(x)-f(x)|<epsilon pour n assez grand
Le sup ne dépend pas de x, tu as déjà ce que tu veux.
En faite, ma question porte sur la recherche du sup,, soit on étudie la |fn(x)-f(x)| en passant par la dérivée,
soit on trouve ce qu'on appelle une majoration uniforme "directement",,,
exemple:la suite de fonctions
Cette suite converge simplement vers
D'autre part on a quelque soit x:
Or on sait que quelque soit x>0 on a
Sans avoir étudier les variations de |f_n(x)-f(x)| j'ai obtenue une majoration qui ne dépend pas de x.
Juste en utilisant des inégalités.
Est il possible de faire la même chose avec l'autre suite?
Désolé d'insister, mais je crois que je ne mettais pas clairement exprimé.
Merci.
Désolé,
mais je ne vois pas la différence, sauf s'il y a un calcul évident. Dans ton exemple, tu as simplement calculé le sup sans le dire (1/n est le sup des 1/(nx) pour x dans [1;+oo[ - c'est même un max).
D'ailleurs il arrive qu'on ne détermine pas le sup, mais qu'on le majore. Dans tous les cas, sup ou pas, on cherche un majorant uniforme. C'est la définition !
Ne te complique pas la vie, comprends les théorèmes et comment on s'en sert, sans rentrer dans les détails inutiles.
Cordialement.
