c'est vrai ou c'est faux? dérivabilité et limite

[alexisfc]

bonjour,
sans intro , soit f : [0 , +infini[ -> R une fonction dérivable telle que lim f = 0 quand x ->+infini alors on a :

1) lim f'(x) = 0 quand x tend vers l'infini

2)intégrale de 0 a l'infini de la valeur absolu de f < infini

3)lim f'(x)*f(x) = 0 quand x tend vers l'infini

4)il existe K>0 et x0 appartenant a R tels que pour tout x>= x0 : |f'(x)| <= K

5)lim 1/n integrale entre 0 et n de f(x) = 0 quand n tend vers l'inifni

1) je pense que c'est vrai car comme f(x) tend vers 0 en l'infini la dérivée aussi
2) vrai aussi pour la mm raison
3) je sais pas je dirais oui a cause de 1) mais je sais pas si la justification est bonne
4) j'en sais rien du tout..
5) je dirais oui mais je saurais pas justifié

a tout ceux qui peuvent me donner les justification de mes réponses et me corrigé si besoin merci d'avance....
alex
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[alexisfc]

désolé pour les fautes d'orthographes que je viens de voir et >= sa veut dire supérieur ou égale.
merci
alex

[gg0]

Bonjour.

a) Il est facile de construire des fonctions qui tendent vers l'infini en variant fortement. Essaie.
b) Tu connais un contre exemple très simple

Réfléchis déjà à ça avant de voir la suite.

Cordialement.

[alexisfc]

a) la je vois vraiment pas j'ai essayer de faire sa avec des eponentielle mais a chaque fois la fonction et sa dérivée tendent vers 0
b) par exemple pour f(x) =1/x sa tend bien vers 0 mais la norme diverge ...donc la b) est fausse alors

la a) je vois pas...
CDL
alex

[A voir en vidéo sur Futura]

[alexisfc]

j'ai réfléchi pour la c) je pense que si on prend f(x) =sinc(x) si on fait f'(x)*f(x) cela oscille autour de zéro mai n'est pas égale a 0 donc la c) serai fausse n'est ce pas?

CDL
Alex

[gg0]

Bon,

tu es sur le bon chemin en prenant une fonction qui "oscille". Mais on peut la faire osciller plus fort, par exemple avec sin(x²)/x.

Cordialement.

NB : L'exponentielle est une très mauvaise idée, elle est sa propre dérivée, donc ce qui se passe pour al fonction se reproduit pour la dérivée. Il y a plein d'autres fonctions qui tendent vers 0 à l'infini.

[alexisfc]

ok et pour les deux dernieres?
cdl alex

[armelias]

pour la 4, cela dépend également de ta réponse a la question 1

en effet, si lim f'(x) lorsque x tend vers l'infini est nulle, peut importe la valeur de k, il y'aura un moment ou tu seras plus petit : définition de la limite

[alexisfc]

ok donc comme la 1 est pas tout le temps vrai d n'est pas tout le temps vrai non plus
merci

[Seirios]

Pour la première question, l'exemple donné par gg0 fonctionne. On peut même s'amuser à construire une fonction décroissante telle que et non bornée.

[alexisfc]

par contre la dernière personne a d'avis sa doit pas etre évident...

[gg0]

Heu ... en français ça dit quoi ?
je n'ai pas compris qui est "la dernière personne"

[alexisfc]

le dernier choix , quelqu'un a une idée ?

[Elie520]

Tu peux tenter avec Cesàro, en considérant ou tout simplement le faire à la main, ce qui revient à démontrer Cesàro.

[Elie520]

Pour la première question, l'exemple donné par gg0 fonctionne. On peut même s'amuser à construire une fonction décroissante telle que et non bornée.

Exactement, de manière très simple, une fonction qui contredit les points 1/3/4 d'un coup : .
Le point 2 est d'essence un peu différente, mais on peut penser à 1/(x+1).