Bonsoir,
Voila je me tourne vers vous pour une question:
Dans mon cours, il est écrit que K[X] est l'anneau des polynômes ce que je comprend tout à fait mais le problème c'est que après il est écrit que si on considère K un corps alors K(X)={P(X)/Q(X)} est un corps où Q n'est pas le polynôme nul.
Voila quand on écrit K(X) qu'est ce que cela signifie exactement ?
Merci de votre aide.
Bonsoir.
Précisons encore un peu pour donner du sens :
On considère un corps K, et l'ensemble. Alors K(X) est un corps. On l'appelle le corps des fractions rationnelles sur K.
Exercice : Montrer que c'est bien un corps.
Indication : Vérifier chacune des propriétés.
Cordialement.
quand on dit que K[X] est un anneau c'est que K[X] munit de la loi + est un groupe abélien et que K[X] admet un élément absorbent qui est le 0 pour la multiplication mais ce n'est pas un corps car il existe pas de polynôme Q pour chaque P tel que P(x)Q(x)=1 ( la seul solution étant le Q(x)=1/P(x) qui n'est pas un polynôme )
mais si on parle de l'ensemble des P(x)/Q(x) qui est différent de l'ensemble des polynômes étant l'ensemble des fractions rationnels , c'est bien un corps car tous ce qui est vérifier pour l'anneau K[x] est vérifié pour lui aussi , et en plus pour P(x)/Q(x) il existe l’élément Q(x)/P(x) tel que le produit des 2 = 1
Merci à vous deux pour vos explications. Juste pour montrer que c'est un corps je montre que c'est un sous-corps d'un ensemble ?
non montre que : c'est un anneau pour le quel tous élément admet un inverse pour la deuxième loi
pour ce qui est de montrer qu'il est sous Corps : cette méthode est utilisé quand il y a un corps parent hors ce n'est pas le cas dans ton exemple
par exemple si on te demande la même question ou P/Q tel que P et Q sont d'ordre 2 au max , tu utilise le Corps parent qui est ton K
je te conseil de jeter un coup d’œil ici http://fr.wikipedia.org/wiki/Structure_alg%C3%A9brique
Pour la culture, cette construction d'un corps à partir d'un anneau se généralise, c'est le corps des fractions ; par exemple, cela donne une construction de
If your method does not solve the problem, change the problem.
