convergence

[invite3240c37d]

Soit la suite réelle définie par
Montrer qu'elle converge et calculer sa limite ..
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[invite17b40fee]

demonstration par recurrence

[invitef3414c56]

Bonjour,
Tout d'abord, il n'est pas clair que la suite soit bien définie. Si l'on admet que tout marche bien, après quelques calculs numériques, il vient la démarche suivante (sauf erreur de ma part).

Soit V_n la suite définie pour n>=2 par V2=15,V3=127, V4=799, et la relation de récurrence V_{k+3}=7V_{k+2}-7V_{k+1}-15V_k.

Vérifier (par récurrence...)que Y_n=V_{n-1}/V_{n} pour tout n>=3.

L'équation caractéristique de la récurrence vérifiée par V_n est T^3-7T^2+7T+15=(T-5)(T-3)(T+1)

Donc il existe des constantes a,b,c telles que V_n=a5^n+b3^n+c(-1)^n pour n>=2. On trouve a, b, c en utilisant n=2,3,4, et on a une expression pour V_n (je n'ai pas fait les calculs). Si a est non nul, la limite est 1/5, si a est nul et b non nul, la limite est 1/3, et si a=b=0 et donc c non nul, la limite est -1.

Cordialement.