Corps valués henséliens

[invite7ce0deca]

Bonjour,

J'ai une petite question basique sur les corps valués henséliens. Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance !

Version courte : Soit un corps valué hensélien, son anneau de valuation, et son corps résiduel. Si , alors on peut montrer facilement qu'il existe un sous corps de telle que soit un isomorphisme. Je me demandais si c'était encore vrai lorsque . Si oui, connaîtriez vous un livre où on peut en trouver la preuve (même un vieux ou un difficilement trouvable), ou me dire comment faire là où ça bloque dans la preuve (cf. la version longue) ? Si c'est faux, avez-vous un contre-exemple ou une référence pour un contre-exemple ?


Version longue : Pour prouver la propriété ci-dessus (en caractéristique nulle, disons), voici comment je procède : je commence par voir que le sous-corps premier de est contenu dans , et du coup, par le lemme de Zorn je trouve un sous-corps de maximal pour l'inclusion, et j'aimerais montrer qu'il convient. Si ce n'est pas le cas, je peux trouver et alors deux cas se présentent :

- Ou bien est transcendant sur ; alors pour n'importe quel antécédent de par , on a , ce qui contredit la maximalité de ;

- Ou bien est algébrique sur ; on note l'antécédent par de son polynôme minimal, et un antécédent de par . Alors, comme on est en caractéristique 0, est séparable et donc , et donc on peut appliquer la propriété de de Hensel à , qui nous donne hors de mais algébrique sur , ce qui conduit à la même contradiction que précédemment.

Problème : dans le cas de la caractéristique non nulle, le polynôme minimal de n'est pas forcément séparable. Y a-t-il un autre moyen de parvenir malgré tout à la conclusion, ou bien dans le cas général, on ne peut rien faire de plus que de relever par un sous-corps de sur lequel est purement inséparable ?

Merci d'avance pour vos réponses !
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[0577]

Bonjour,

deux remarques :

1) En effet, la preuve ne marche pas si le corps residuel n'est pas parfait.
Plus precisement, il est possible qu'un sous-corps maximal de
ne soit pas isomorphe au corps residuel par
(exemple :soit F un corps de caracteristique p, ,
considerer le sous-corps maximal ).

2)Mais il est faut peut etre bien choisir le sous-corps maximal. En fait, un theoreme de Cohen
(theoreme de structure de Cohen) montre qu'il existe un
pour tout anneau local complet d'egale caracteristique.

Je ne sais pas si ce resultat reste vrai pour un anneau henselien general.

[invite7ce0deca]

Merci beaucoup !

Juste une petite question, du coup : vous semblez dire que ma preuve marche toujours lorsque le corps résiduel est parfait, même en caractéristique non-nulle. Mais je ne vois pas pourquoi : en effet, en gardant les notations de mon premier post, est un polynôme irréductible sur ; pour pouvoir en conclure qu'il est séparable (c'est ce dont on a besoin ensuite), il faudrait donc que soit parfait ; or, tout ce qu'on suppose, c'est que est parfait, mais un sous corps d'un corps parfait n'est pas forcément parfait, et donc on ne peut pas conclure. Comment contourner cette difficulté ? (Il y a peut-être une astuce triviale, mais je n'ai pas fait d'algèbre depuis longtemps, et je ne suis plus très à l'aise avec la séparabilité...)

[0577]

Vous avez raison. Ce que je laissais sous entendre dans mon message precedent
pour le cas d'un corps residuel parfait n'est pas correct.

[A voir en vidéo sur Futura]