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Suites



  1. #1
    Kathrina

    Suites


    ------

    Bonjour à tous!!!!

    Je suis en terminale S
    Et, j'ai un problème dans cet exercices de Spe maths .
    Pourriez vous m'aider svp?
    Merci!

    Enoncé:

    Si a et b sont deux entiers, le plus grand commun diviseur de a et de b est noté D(a,b)
    Soit U la suite numérique définie par U0=0, U1=1 et pour tout entier naturel n:
    Un+2=3Un+1-2Un

    Démontrez que pour tout entier naturel Un est un entier et
    Un+1=2Un+1

    Démontrons que Un est un entier.
    On a : U0=0 et U1=1
    Un+2=3Un+1-2Un
    donc: Un= (3Un+1 - 2Un+2)/2
    Un est la différence de 2 entiers ( on ne sait pas si ce sont des entiers...)
    la suite est croissante ( je ne sais pas comment démontrer que la suite est croissante, j'ai essayé par l'absurde mais cela n'a pas marché)
    donc ces entiers sont positifs donc naturel.

    J'ai reussi à demontrer par recurrence que Un+1=2Un+1


    A bientôt!

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Suites

    Salut,

    pour démontrer que Un est un entier, il faut supposer que et sont entiers pour établir l'hérédité...

    Sinon ton Un+1=2Un+1 ne veut rien dire en plus d'être ambigü... Tu pourrais recopier correctement l'énoncé, stp?

    Cordialement.

  3. #3
    Kathrina

    Re : Suites

    Voici l'Enoncé en mieux :


    Si a et b sont deux entiers, le plus grand commun diviseur de a et de b est noté D(a,b)
    Soit U la suite numérique définie par U0=0 U1=1 et pour tout entier naturel n:
    Un+2=3Un+1-2Un

    Démontrez que pour tout entier naturel Un est un entier et
    Un+1=2Un+1


    Mais pour démontrer par recurrence ce que tu as mis predemment il faut deja savoir que un est un entier
    Or c'est ce qu'il faut démontrer!

  4. #4
    matthias

    Re : Suites

    Citation Envoyé par Kathrina
    Mais pour démontrer par recurrence ce que tu as mis predemment il faut deja savoir que un est un entier
    ?????
    Non la démonstration par récurrence fonctionne très bien.

    Tu peux toujours commencer par démontrer (et pas la version fausse que tu as donnée), et ensuite démontrer que Un est entier à partir de là, mais ça ne change pas grand-chose.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    martini_bird

    Re : Suites

    Citation Envoyé par Kathrina
    Démontrez que pour tout entier naturel Un est un entier et
    Un+1=2Un+1
    Hum, il n'y a pas beaucoup de nombres qui vérifient ...

    Citation Envoyé par Kathrina
    Mais pour démontrer par recurrence ce que tu as mis predemment il faut deja savoir que un est un entier
    Pour démontrer par récurrence, après avoir établi la fondation (pour et dans ton cas), on suppose que et sont des entiers pour en déduire que est un entier. (revois au besoin le raisonnement par récurrence)

    Cordialement.

    EDIT: doublé par matthias

  7. #6
    Kathrina

    Re : Suites

    Merci pour votre aide!

    alors si j'ai bien compris la réponse est:

    On suppose que P(n): Un est un entier naturel
    on doit prouver que P(n+1) est un entier naturel
    c'est à dire Un+1=2Un+1
    D'apres l'hypothese de recurrence Un est un entier naturel et 2 et 1 egalement
    Donc 2Un+1 est un entier naturel soit
    Un+1
    Puis on conclut...

  8. #7
    invite43219988

    Re : Suites

    Salut.
    Il faut initialiser ta récurrence, c'est à dire montrer que la propriété est vraie au rang 0 (parfois au rang 1 ou alors au rang 0 et 1 en même temps etc...ça dépend de l'énonc&#233.
    Voilà le principe du raisonnement.

    Supposons qu'un robot monte une marche quelconque (n), on utilise le fait qu'il fait toujours le même mouvement de manière parfaite blabla et étant donné qu'il ne s'arrête jamais et que toutes les marches sont identiques dans notre escalier, il montera quelque seconde plus tard la marche (n+1).

    Maintenant, pour que je puisse dire que mon robot monte des escaliers, il faut bien que je vérifie d'abord qu'il ait monté une première marche. (parce que s'il marche dans une prairie, il risque pas de monter des escaliers).

    Donc, pour démontrer que mon robot monte des escaliers, je vérifie qu'il monte au moins une marche (initialisation), et je montre que s'il monte une marche, alors il monte la suivante.

    Je peux maintenant conclure que mon robot monte des escaliers \o/

  9. #8
    Kathrina

    Re : Suites

    J'avais également un aute petit soucis...

    On a : D(Un, Up)=D(Un, Un+p) pour tout n et p entiers naturels

    a et b sont deux entiers naturels non nuls , r est le reste de la division euclidienne de a par b

    déduire de ce qui précède que :
    D (Ub, Ur)=D (Ua,Ub)

    Pour cela j'ai trouvé:
    on a : D(Un, Up)=D(Un, Un+p) pour tout n et p entiers naturels
    et a et b dont des entiers naturels non nuls
    Donc D(Ua, Ub)=D(Ub,Ub+a)
    or a = bq+r donc a+b=b(q+1)+r
    donc a est congru à r modulo b et a+b est congru à r modulo b
    Donc D(Ua,Ub)=D(b,Ur)
    Est-ce correct?
    Dernière modification par Kathrina ; 14/01/2006 à 17h29.

  10. #9
    Kathrina

    Re : Suites

    Merci pour l'image!
    J'avais omis de vérifié P(0)c'est à dire U0..
    Mais je voulais juste savoir si le principe était bon car avant j'avais raisonné differement et ça n'aboutissait pas au résultat attendu...

  11. #10
    rvz

    Re : Suites

    Citation Envoyé par Kathrina
    Bonjour à tous!!!!
    Soit U la suite numérique définie par U0=0, U1=1 et pour tout entier naturel n:
    Un+2=3Un+1-2Un
    Juste pour sinaler un truc qui m'a l'air vrai.
    Si je pose v_0 = u_1 -u_0=1,
    v_n = u_{n+1}-u_n ;
    on a facilement,
    v_{n+1} = 2 * v_n ;
    D'où v_n = 2^n ;
    et
    Fin de l'exercice

    __
    rvz

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