Les quadratiques, encore et encore

[invite204ee98d]

Re bonsoir,

Dans un exo je bloque à la dernière question qui demande plusieurs demonstrations :


4)Montrer que l'ensemble des formes quadratiques sur est un sous-espace vectoriel de l'ensemble des fonctions de dans . Montrez que l'application q-->G avec désignant les matrices de Gram, est un isomorphisme d'espace vectoriel de vers les matrices symétriques . Calculez la dimension commune de ces deux espaces. Donnez une base de . Bien sur on commencera en petite dimension n=1,2,ou 3.

Là j'en suis à : Montrez que l'application avec désignant les matrices de Gram, est un isomorphisme d'espace vectoriel de vers les matrices symétriques.

Si j'ai bien compris ca revient à montrer que l'application est bijective.
Pour l'injectivité ca va quoique c'est bizarre pour moi y'a rien à montrer c'est évident alors j'ai juste dit sans svoir si c'est bon que : équivaut à

Pour la surjectivité je sais pas trop : on doit montrer :



Le soucis étant que la matrice de Gram (c'est a dire) chaque s'ecrit sous la forme par exemple mais pas en fonction de (la forme quadratique)

Merci, adios.
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[invite332de63a]

Bonjour,

une forme quadratique s'écrit de la forme avec alors sa forme polaire associée est avec et . En fait à partir de la forme quadratique on remplace les termes par et les par .

Alors on a que
et pour i et j distincts ainsi la matrice associée à q est la matrice des sur la diagonale en (i,i) et des en dehors de la diagonale en (i,j) et (j,i).