Forme quadratique dans un espace vectoriel

[invite204ee98d]

Bonsoir,


Problème pour l'exo qui suit :

Énoncé : Pour le produit scalaire de Legendre : sur

1) Calculer la matrice de Gram dans la base 1,t,t² puis la forme quadratique.
Comme Matrice de Gram j'ai :
mais ensuite la forme quadratique je sais pas trop, la base étant 1,t,t².
Faut il calculer avec P(t) a mettre sous la forme avec et Q(t) pareil avec des coefficients différents puis appliquer la formule :



2) Déterminer les plans orthogonaux à 1, puis t et t²

Là problème. Pour commencer je me suis dit qu'un plan doit être défini par deux polynomes de la base en question.
Donc pour 1 je sais que : avec désignant la primitive
d'où

Comme polynome vérifiant cette condition je prends par exemple avec dans

Le second polynome est orthogonal à l'autre d'où je pensais à : mais après je sais pas trop, je ne même pas poser une forme générale pour soit car si l'on primitive cela ca ne vérifie pas

Merci de votre aide, adios.
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[inviteea028771]

Pour ta question 1), oui, on peut faire comme ça

Pour ta question 2), il est je pense plus simple de partir de la matrice de Gram. C'est à dire d'oublier que ce sont des polynômes, mais de raisonner uniquement sur les coordonnées

Pour calculer l'orthogonal de 1, il suffit de calculer le vecteur GQ, (avec Q=(1,0,0) ), puis ensuite de calculer l'orthogonal de ce vecteur


On trouve que GQ = (2,0,2/3), et il est assez facile de trouver deux vecteurs (orthogonaux entre eux) dont le produit scalaire avec GQ est nul, par exemple (0,1,0) (celui que tu as trouvé), et un autre, (2/3,0,-2) (je te laisse voir d'où il sort)

[invite204ee98d]

ok, et sinon avec la méthode que je voulais utiliser on fait quoi à partir de là ou je suis bloqué

[inviteea028771]

Si tu poses P2(t) = a+bt+ct², alors <1,P2> = 0 est équivalent à

[at+b/2t²+c/3t^3 ]_(-1)^1 = 0

(a+b/2+c/3) - (-a+b/2-c/3) = 0

C'est à dire 3a+c = 0

Ce qui est une magnifique équation de plan

[A voir en vidéo sur Futura]