Bonjour, j´ai un exo dont je n´aurais pas pensé qu´il me pose problème. Il s´agit de la chose suivante:
Soit un espace préhilbertien X et une application linéaire P. Dans la suite <> désigne le produit scalaire
Il faut prouver que les deux affirmations suivantes sont équivalentes:
a) pour tout x de X, pour tout y de l´image de P, <x - Px , > = 0
b) P2 = P et norm(P) <= 1, où norm(P) est la norme matricielle associée à celle de X, donc c´est-à-dire que P est 1-lipschitzienne.
Bref, ce sont deux définitions différentes d´un projecteur orthogonal.
Mon problème, c´est que j´ai réussi à prouver a) => b) mais pas l´inverse. J´y ai réfléchi longtemps mais sans résultat.
Quelqu´un a-t-il une idée?
Merci d´avance
Christophe
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