Matrice de projection orthogonale

[invitea2257016]

Bonjour à tous!
Voici une matrice M:


On me demande de determiner en justifiant, deux valeurs x₁ et x₂ de x pour lesquelles M est la matrice d'une projection orthogonale sur un sous espace vectoriel que l'on précisera dans les 2 cas.
J'ai eu beau cherché je ne trouve pas comment faire.
En effet en prenant le produit scalaire habituel (je ne sais plus comment on l'appel) :

Soit u=(u₁,...,u_n) et v=(v₁,...,v_n) alors <u.v> = u₁v₁+...+u_nv_n

le projeté orthogonal de y= (y₁, y₂, y₃) sur l'e.v F qui a pour base B = (f₁, f₂, f₃) est:

p_F(y) = <y.f₁>f₁ + <y.f₂>f₂ + <y.f₃>f₃

Donc cela signifie que si notre matrice est bien une matrice représentative d'une projection orthogonale pour la 1ere colonne par exemple (représentant les coordonnées du vecteur e₁ auquel on a appliqué l'application dans la nouvelle base B = (f₁, f₂, f₃) et où e₁ est un vecteur de la base de départ) on a:

<e₁.f₁> = (x+2)f₁ + (x-2)f₂ + 2f₃

Mais c'est là que je bloque car comme la matrice est une matrice représentative je ne connais pas la base de départ ni celle d'arrivé (qui doit être orthonormale) je ne peux donc pas utiliser le fait que pour déterminer x je dois utiliser par exemple cette égalité pour la première colonne:
<e₁.f₁> = (x+2)f₁ + (x-2)f₂ + 2f₃.
Pourriez vous m'aider s'il vous plait?
Sinon suis-je sur la bonne voie et est ce que, ce que j'ai expliqué est bon? Enfin pourriez vous me donner des explications ou même un cours qui permet d'approfondir sur les projecteurs orthogonaux?

Merci d'avance
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[invite371ae0af]

pour que tu ais une matrice orthogonale il faut que (je note P ta matrice)

[invitea2257016]

Merci pour ta réponse rapide,
Tu dis : mais ça c'est pour une application (matrice) symétrique. Après c'est vrai que toutes les matrices orthogonales sont symétriques d'apres le théoreme spectrale il me semble. Donc cette condition montre juste que c'est une matrice symétrique.
D'où vient cette condition stp : ?? Du fait qu'une application vérifie si c'est un projecteur et donc qu'au niveau matriciel l'operateur
donne un produit et enfin en ayant les 2 conditions projecteur et symétrie c'est automatiquement une matrice d'un projeté orthogonal car les matrices représentatives de projecteur qui ne sont pas orthogonaux ne sont pas symétriques, c'est cela?
Merci

[invite371ae0af]

la condition P²=P vient de pop=p que tu traduis en terme de matrice

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

par contre dans ta matrice M si je calcule M² j'ai dans la dernière colonne, dernière ligne le chiffre 12 qui est différent de 2, du coup on aura jamais M²=M

[invitea2257016]

Donc elle ne pourra jamais être orthogonal? Pourtant ce n'est pas possible car c'est le but de l'exercice de trouver les x tel qu'elle est orthogonale.
De plus petit erratum:
J'ai ecrit :

<e₁.f₁> = (x+2)f₁ + (x-2)f₂ + 2f₃

Mais en fait c'était

<e₁.f₁> = (x+2)f₁₁ + (x-2)f₁₂ + 2f₁₃
où f₁₁, f₁₂ et f₁₃ sont les coordonnées du vecteur f₁.

[sylvainc2]

Les valeurs propres d'une projection doivent être 0 et 1 exclusivement. Ici, celles de M sont 0, 2x et 6. Le 6 fait que M ne peut pas être une projection. Il doit y avoir une erreur dans l'énoncé.

[invitea2257016]

Oui autant pour moi, alors en fait la matrice c'est celle là exactement:

[invite57a1e779]

Cela change tout.

La matrice M est une matrice de projecteur si, et seulement si : M²=M, ce qui conduit effectivement à deux valeurs de x.

Reste à voir, pour chacune de ces valeurs de x, si le projecteur de matrice M est orthogonal, ce qui peut se faire par la définition ou par le caractère auto-adjoint des projecteurs orthogonaux.

Si la matrice est donnée dans une base orthonormée, il suffit de vérifier que le projecteur est auto-adjoint en vérifiant que la matrice est symétrique.

Si la matrice est donnée dans une base non orthonormée, il faut déterminer le noyau et l'image du projecteur et vérifier que ce sont des sous-espaces vectoriels orthogonaux.

[invitea2257016]

Merci pour ta réponse. Juste je ne comprends pa, tu dis ca:

Si la matrice est donnée dans une base non orthonormée, il faut déterminer le noyau et l'image du projecteur et vérifier que ce sont des sous-espaces vectoriels orthogonaux.

Mais pourquoi??

Merci

[invite69d38f86]

Pour la matrice M²-M les éléments sont nuls pour la troisième ligne et la troisième colonne
les 4 élements restants sont tous égaux à x(x-3)/18
(j'ai utilisé le logiciel gratuit maxima avec sa fonction simplifier sous linux)

Avec un projecteur (m²=m) l'espace vectoriel est la somme directe de l'image et du noyau de m.
Cette discussion m'intéresse car j'ai un post resté sans réponse sur la métrique de Killing ou je dois aussi montrer
que l'on a un projecteur.

[invitea2257016]

Merci beaucoup pour vos réponses.

Cela change tout.
Si la matrice est donnée dans une base orthonormée, il suffit de vérifier que le projecteur est auto-adjoint en vérifiant que la matrice est symétrique.

Si la matrice est donnée dans une base non orthonormée, il faut déterminer le noyau et l'image du projecteur et vérifier que ce sont des sous-espaces vectoriels orthogonaux.

Mais comment je fais pour savoir juste en ayant ma matrice si la base est orthonormée ou non?

Merci

[invitea2257016]

D'ailleurs je suis désolé si ma question parait débile mais où apparaît ma base dans la matrice svp?

Merci

PS: Veuillez m'excuser pour le double post mais je ne peux plus éditer mon autre message.

[invite57a1e779]

Une matrice contient des coordonnées de vecteur dans une base : pour interpréter la matrice, il faut bien avoir une base.

D'autre part, le qualificatif "orthogonal" ne peut se comprendre qu'en relation avec un produit scalaire : quel est le produit scalaire utilisé ?

[invitea2257016]

Justement on ne me donne ni base ni produit scalaire...

[invite57a1e779]

Sans produit scalaire, je ne vois pas comment déterminer ce qui est orthogonal et ce qui ne l'est pas...

[invitea2257016]

Pourtant on n'en donne pas c'est bizarre.

Pour recapituler, si j'ai bien compris, une matrice représente un projecteur orthogonal si on a :
1)
2)

Pour le 2) c'est logique, car un projecteur doit vérifier mais pour le 1) je ne comprends pas pourquoi. Auriez vous une explication ou même une démonstration rigoureuse qui explique pourquoi une matrice est orthogonale que si elle est symétrique. Car là ça veut dire ça, avec le 2) on montre qu'on a un projecteur et avec le 1) on montre que c'est orthogonal en montrant que c'est une matrice symétrique étant donné que est la définition d'une matrice symétrique. Normalement on devrait juste montré que c'est une matrice orthogonale : , alors pourquoi on montre que c'est symétrique avec ?

Merci

[invite69d38f86]

le produit scalaire est implicite.
Si tu as deux vecteurs(a,b,c) et (a',b',c') leur produit est aa'+bb'+cc'.

As tu vu les vecteurs propres?
Comment définis tu une projection orthogonale dans ton cours?

[invitea2257016]

Oui j'ai vu les vecteurs propres et je défini une projection orthogonale comme dans mon premier post.