limite de matrice

[Gumus07]

Bonjour les matheux,
voici ma question :je voudrais montrer que :
=
ou est une matrice et la matrice identité ,et est un réel

Merci pour votre aide


Cordialement
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Votre paramètre t ne sert à rien, je le prend donc égal à 1. On montre donc la formule pour une matrice quelconque A.

Je vais supposer que votre norme est ||A||=Sup(||Ax||/||x||, x non nul), qui possède la propriété que



De toute façons, les autres normes sur votre espace sont équivalentes.

Pour un entier n, j'écris (développement en série entière, on est dans C):


et je vous laisse le soin de trouver ce que valent les a_{k,n}, et surtout de vérifier qu'il sont réels positifs.

Ensuite:



On majore brutalement:



Où on n'a pas modifié les coefficients a_{k,n} et les 1/k! qui sont positifs. On a:



Donc:



Et je vous laisse conclure.

Cordialement.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, il y a un gros problème, ta matrice A est de taille nxn et tu prends une limite en n... j'imagine que ce n'est qu'une étourderie...

[Seirios]

Bonjour,

Une autre possibilité :

Montrer la limite pour les complexes, en déduire que la limite est valable pour les matrices diagonalisables, puis utiliser la densité des matrices diagonalisables dans comme suit : On se donne une suite de matrices diagonalisables convergeant vers une matrice . Alors . Par un argument de continuité, tu peux alors montrer l'existence de (attention, ici doit être indépendant de ) tel que . Avec et bien choisis, l'expression peut être majorée par un préalablement fixé, d'où la limite recherchée pour une matrice complexe quelconque.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Votre paramètre t ne sert à rien, je le prend donc égal à 1. On montre donc la formule pour une matrice quelconque A.

Le était peut-être là pour suggérer d'introduire la suite de fonctions , pour ensuite montrer qu'elle converge vers une fonction vérifiant et .

[Gumus07]

Et je vous laisse conclure.

.

c'est bon j'ai très bien compris, merci beaucoup pour votre aide !
Cordialement

[Gumus07]

Bonjour, il y a un gros problème, ta matrice A est de taille nxn et tu prends une limite en n... j'imagine que ce n'est qu'une étourderie...

non c'est juste un probleme d'ecriture,j'aurai du ecrire une matrice "m*m"

[Gumus07]

Par un argument de continuité...

Est ce que je peux directement dire que la fonction définie par:


est continue.ou dois je le montrer??

Merci encore pour votre aide

[invite9c7554e3]

c'est bon j'ai très bien compris

dsl de m'incruster.... moi je n'ai pas compris la conclusion, pourrais tu me l'a donner ?

[Seirios]

Est ce que je peux directement dire que la fonction définie par:


est continue.ou dois je le montrer??

Tu peux remarquer que les coordonnées de s'expriment comme des fonctions analytiques en les coefficients de , donc la continuité en découle.

[Gumus07]

dsl de m'incruster.... moi je n'ai pas compris la conclusion, pourrais tu me l'a donner ?

Bonsoir,
on sait que si alors
et puisque dans la dernière inégalité on a cette limite avec donc ça tend vers 0 et par conséquent le membre de gauche aussi et on a notre limite !

Cordialement

[Gumus07]

Le était peut-être là pour suggérer d'introduire la suite de fonctions , pour ensuite montrer qu'elle converge vers une fonction vérifiant et .

je n'ai pas bien compris cette remarque et pour la continuité c'est bon j'ai compris....merci beaucoup pour votre aide !

[invite9c7554e3]

Bonsoir,
on sait que si alors
et puisque dans la dernière inégalité on a cette limite avec donc ça tend vers 0 et par conséquent le membre de gauche aussi et on a notre limite !
Cordialement

bonjour,
merci beaucoup !