Limite d'une matrice à la puissance n

[invite900a284b]

Bonjour,
Je bloque sur un exercice de matrices.
Voici , en résumé , le sujet:
On m'a donné les matrices suivantes:
matrice.jpg
matriceA.jpg
matriceB.jpg

On m'a demandé de calculer M^n avec n=2, 3, 4 et 5, et d'émettre une conjecture.
J'ai émis la suivante: lorsque n tend vers l'infini , M^n tend vers une matrice carrée à 2 lignes et 2 colonnes, de coefficients égaux à 0.3 en haut , et à 0.7 en bas.
Ensuite, j'ai du démontrer plusieurs choses (telles que A^n=A ; B^n=B ; M=A+0.2*B ; A*B et B*A sont des matrices zéro) me permettant grâce à un raisonnement par récurrence de montrer que M^n=A+(0.2)^n *B
Avec cet élément, on me demande d'en déduire la démonstration de ma conjecture.
Cependant, je n'y arrive pas. :/
Si vous pouvez me venir en aide, ce serait très sympa!
Merci d'avance
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[gg0]

Quelle est la limite de (0,2)ⁿ ?

[invite900a284b]

Quand n tend vers +infini , (0.2)^n tend vers +infini.
Mais, je ne vois pas où cela me mène. :$

[gg0]

Quand n tend vers +infini , (0.2)^n tend vers +infini.

Essaie de calculer les puissances successives de 0,2, pour voir !!!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite900a284b]

0.2^2 = 0.04
0.2^3 = 0.008
0.2^4 = 0.0016
0.2^5 = 0.00032

Donc 0.2^n tend vers 0. Pourtant on voit en cours que x^n tend vers +infini, ce qui m'a induit en erreur, désolée :/
Donc,puisque 0.2^n tend vers 0 , 0.2^n *B tend vers 0 ; et donc M^n tend vers la même limite que A, or A tend vers lui-même.
Donc, M^n tend vers la matrice A (?)

[invite900a284b]

En tout cas, merci pour votre aide!
Vous m'avez permis de finir cet exercice de spé, en avance, pour la semaine prochaine!
Merci encore!

[Bruno]

Donc 0.2^n tend vers 0. Pourtant on voit en cours que x^n tend vers +infini, ce qui m'a induit en erreur, désolée :/

C'est vrai, mais seulement dans le cas où |x|>1