Géodésiques sur un espace métrique

[Mocassins]

Bonsoir,

Je cherche à savoir à quelle condition on peut définir la notion de plus court chemin sur un espace métrique connexe par arcs., et le cas échéant quelle est cette définition.

Si vous connaissez des articles dans lesquels on en parle par exemple... Je ne sais pas s'il y a une définition "officielle".


(Le but étant déterminer les géodésiques du 2-tore en général. )


Pour l'instant, voici ce que j'ai trouvé:

Soit une application continue de dans le tore, et des points disticts du tore. est un plus court chemin de vers si:

- et

-,

-

( est la distance, est assimilé au point . C'est moi qui ai rajouté la troisième condition pour exclure certains types de chemins, ce n'est pas ce point qui m'intrigue.)


Qu'en pensez-vous?
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[invite179e6258]

le problème c'est que tu ne dis pas ce que c'est que d.

[Mocassins]

C'est la distance choisie sur l'espace métrique en question.

J'ai un peu mélangé la définition générale et ce que je veux faire sur le tore en fait. Il faut remplacer les occurrences du mot "tore" dans la définition par "espace métrique".

[invite179e6258]

si par exemple ta variété est plongée dans un espace euclidien, et que tu considères la distance induite par celle de l'espace, il se peut que ta définition ne soit vérifiée par aucune courbe. C'est le cas il me semble pour le tore avec son plongement ordinaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mocassins]

Oui. C'est assez gênant. Le tore classique de muni de la distance induite à partir de la distance euclidienne classique est une variété différentielle, et d'après ce que j'ai compris c'est une variété riemannienne.
Est-ce que cela veut dire qu'il existe des géodésiques au sens des variétés riemanniennes pour cette distance? (je n'y connais rien en géométrie différentielle)

[invite179e6258]

mes souvenirs de géométrie différentielle commencent à s'estomper... mais il me semble que si tu t'intéresses aux géodésiques, tu ne peux pas faire l'économie de t'y plonger (si j'ose dire).

[Mocassins]

Ca ne me tente pas trop, ça laisserait de côté tous les tores qui ne sont pas des variétés différentielles!

Et puis cela triplerait la difficulté du travail. (encore que, vu comme je galère avec les géodésiques "métriques", c'est pas dit)