Vecteur propre d une matrice 3x3 symetrique

[mAx6010]

Hello,
Je me replonge dans l algebre lineaire (matrice) apres 10ans d'activité treeeeees modérée.
J'ai une matrice 3x3:
95.5 55.1 0
55.1 31.8 0
0 0 0
Je cherche a la diagonaliser. Je cherche donc les valeurs propres et le vecteurs propres pour construire ma matrice de passage.
Je trouve bien les 3 valeurs propres: 0 , 7e-3 et 127.3
Sur les 3 vecteurs propres, j en trouve 2 sans probleme (0.865 0.5 0) & (-0.5 0.865 0)
Par contre le dernier pour la valeur propre 0, je bloque (je retrouve le vecteur propre(-0.5 0.806 0).
Sous mathcad, le dernier vecteur est (0 0 1)
Merci pour votre aide
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[toothpick-charlie]

tu sais que le troisième vecteur propre est orthogonal aux deux premiers, ça ne te laisse pas beaucoup de choix...

[mAx6010]

Merci de ta reponse.
Oui en effet l orthogonalite resout le probleme.
Mais j avais pense que les 3 vecteurs se calculaient tout betement.

[Tryss]

Ils se calculent aussi tout bêtement.

Si tu appliques ta matrice au vecteur (a,b,c), tu obtiens le vecteur (95.5*a + 55.1*b, 55.1*a + 31.8*b, 0)

Pour que ce soit égal à 0, il faut que

95.5*a + 55.1*b = 0
55.1*a + 31.8*b = 0

Ces deux équations étant linéairement indépendantes, la seule solution est a=b=0. Et on peut choisir c quelconque

[A voir en vidéo sur Futura]

[mAx6010]

Ok, donc mon erreur serait en fait d'arrondir. (chose faite pour les autres valeurs propres)
En effet pour moi, ce systeme revient a:
a=(-55.1/95.5)*b --> a=-0.5769*b
a=(-31.8/55.1)*b --> a=-0.5771*b
Ce qui me donne 2x la meme equation en arrondissant (a=-0.577*b)

Je donne au passage mes resultats:
Pour la valeur propre 7e-3, je me retrouve avec le systeme
--> a=0 --> a=0
--> b=-0.577*c --> b=-0.5
--> b=-0.577*c --> c=0.865
avec (a^2+b^2+c^2=1)

Pour la valeur propre 127.29. je me retrouve avec le systeme
--> a=0 --> a=0
--> b=1.73*c --> b=0.865
--> b=1.73*c --> c=0.5
avec (a^2+b^2+c^2=1)



Pour la valeur propre 0
-->(??) 0*a+0*b+0*c = 0
--> (??) b=-0.577*c
--> (??) b=-0.577*c

[gg0]

Effectivement,

arrondir fausse les calculs. Exemple caricatural
A=1,0000000000000001
B=0,9999999999999999
Calcul de C = (A-B) x 10¹⁵

En arrondissant à 10 chiffres significatifs :
C=(1.000000000-1.000000000) x 10¹⁵ =0

Alors que C vaut 2.

Cordialement.

NB : Tes valeurs propres, déjà sont arrondies, ce qui parfois crée des problèmes !