relation des classes et orbites

[chacal66]

bonsoir, j'aurai besoin de quelques explications...
Soit G un groupe d’ordre , où p est un nombre premier, n >1 et p, m sont premiers entre
eux.
On dit qu’un sous-groupe H de  G est un p-sous-groupe de G si avec 0 <a <n, et on dit que H est un p-sous-groupe de Sylow si |H| = p^n.
On admet que pour tout a il existe au moins un sous-groupe H  G d’ordre p^a.
1. Soient S1 un p-sous-groupe de G, et S un p-sous-groupe de Sylow de G. Montrer que toute
action de S1 sur les classes à gauche G/S admet au moins un point fixe

Alors la correction dit Supposons qu’une action de S1 sur G/S n’admette pas de point fixe et cherchons une contradiction.
S1 est d’ordre p^a et |G/S| = m. Si xS ∈ G/S, la formule des classes s’écrit
|Orb(xS)| · |Stab(xS)|= p^a.
Alors la c'est bon c'est la relation des classes basique
On a donc ça c'est parce que orb divise l'ordre de G je suppose
d’où |Orb(x)| ≡ 0modp et m = |G/S| ≡ 0modp ce qui contredit m premier avec p.
ce que je comprend pas c'est l'égalité en gras...Pourquoi on obtient |G/S| ≡ 0modp?
merci d'avance
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[Seirios]

Bonjour,

Il est montrer que et sont des facteurs de , donc et avec ; de plus, n'est pas un point fixe de l'action donc , ce qui équivaut à . Ainsi, et divise . Or s'écrit comme l'union disjointe des orbites ; comme il a été montré que toute orbite est de cardinal divisible par , il en est nécessairement de même pour .