Polyèdre

[invite24ed9fa5]

Bonjour à tous,

j'ai un exercice sur les polyèdres qui pose problème. Démontrer qu'un polyèdre convexe qui ne possède ni de face triangulaire ni de face de type quadrilatère a au moins 12 faces de type pentagones.

Je pense qu'il faut utiliser la relation qui dit 2A= 3F₃ + 4F₄ + 5 F₅ ... ou F₅ est le nombre de faces de types pentagones p ex et A est le nombre d'arêtes. Ici, on a donc F₃=F₄=0 mais ensuite aucune idée. La relation d'Euler (?) mais je tourne en rond...

Merci d'avance pour votre aide!
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[Seirios]

Bonjour,

C'est un exercice intéressant et plutôt surprenant. Par curiosité, quelle en est l'origine ?

[invite179e6258]

il faut utiliser la relation d'Euler et je pense que tu gagnes à passer au graphe dual.

[Seirios]

Bonjour,

La question date un peu, mais au cas où la réponse intéresserait quelqu'un, voici la solution que j'ai trouvée :

Notons respectivement , et les nombres de sommets, d'arêtes et de faces du polyèdre. Notons le nombre de faces dont le bord contient exactement arêtes et le nombre de sommets de degré .

On a , d'où . En insérant cette relation dans la formule d'Euler, on obtient , ce qui est équivalent à .

Or implique , ie. .

La relation précédente donne donc .

[A voir en vidéo sur Futura]